Дифференциал… Для одних это прекрасное далёкое, а для других – непонятное слово, связанное с математикой. Но если это ваше суровое настоящее, наша статья поможет узнать, как правильно “приготовить” дифференциал и с чем его “подавать”.
Под дифференциалом в математике понимают линейную часть приращения функции. Понятие дифференциала неразрывно связано с записью производной согласно Лейбница f′(x 0) = df/dx·x 0 . Исходя из этого, дифференциал первого порядка для функции f, заданной на множестве X, имеет такой вид: d x0 f = f′(x 0)·d x0 x. Как видите, для получения дифференциала нужно уметь свободно находить производные. Поэтому нелишним будет повторить правила вычисления производных, дабы понимать, что будет происходить в дальнейшем. Итак, рассмотрим дифференцирование поближе на примерах. Нужно найти дифференциал функции, заданной в таком виде: y = x 3 -x 4 . Сначала найдём производную от функции: y′= (x 3 -x 4)′ = (x 3)′-(x 4)′ = 3x 2 -4x 3 . Ну, а теперь получить дифференциал проще простого: df = (3x 3 -4x 3)·dx. Сейчас мы получили дифференциал в виде формулы, на практике зачастую также интересует цифровое значение дифференциала при заданных конкретных параметрах х и ∆х. Бывают случаи, когда функция выражена неявно через х. Например, y = x²-y x . Производная функции имеет такой вид: 2x-(y x)′. Но как получить (y x)′? Такая функция называется сложной и дифференцируется согласно соответствующего правила: df/dx = df/dy·dy/dx. В данном случае: df/dy = x·y x-1 , а dy/dx = y′. Теперь собираем всё воедино: y′ = 2x-(x·y x-1 ·y′). Группируем все игреки в одной стороне: (1+x·y x-1)·y′ = 2x, и в итоге получаем: y′ = 2x/(1+x·y x-1) = dy/dx. Исходя из этого, dy = 2x·dx/(1+x·y x-1). Конечно, хорошо, что такие задания встречаются нечасто. Но теперь вы готовы и к ним. Кроме рассмотренных дифференциалов первого порядка, ещё существуют дифференциалы высшего порядка. Попробуем найти дифференциал для функции d/d (x 3 )· (x 3 – 2 x 6 – x 9 ), который и будет дифференциалом второго порядка для f(x) . Исходя из формулы f′(u) = d/du·f(u), где u = f(x), примем u = x 3 . Получаем: d/d(u)·(u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3)′ = 1-4u-3u 2 . Возвращаем замену и получаем ответ – 1– x 3 – x 6 , x≠0. Помощником в нахождении дифференциала также может стать онлайн-сервис . Естественно, что на контрольной или экзамене им не воспользуешься. Но при самостоятельной проверке правильности решения его роль сложно переоценить. Кроме самого результата, он также показывает промежуточные решения, графики и неопределённый интеграл дифференциальной функции, а также корни дифференциального уравнения. Единственный недостаток – это запись в одну строку функции при вводе, но со временем можно привыкнуть и к этому. Ну, и естественно, такой сервис не справляется со сложными функциями, но всё, что попроще, ему по зубам. Практическое применение дифференциал находит в первую очередь в физике и экономике. Так, в физике зачастую дифференцированием решаются задачи, связанные с определением скорости и её производной – ускорения. А в экономике дифференциал является неотъемлемой частью расчёта эффективности деятельности предприятия и фискальной политики государства, например, эффекта финансового рычага.В этой статье рассмотрены типовые задачи дифференцирования. Курс высшей математики учащихся ВУЗов зачастую содержит ещё задания на использование дифференциала в приближенных вычислениях, а также поиск решений дифференциальных уравнений. Но главное – при чётком понимании азов вы с лёгкостью расправитесь со всеми новыми задачами.
ЛЕКЦИЯ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ.
1. Дифференциал функции
1.1. Определение дифференциала функции
С понятием производной теснейшим образом связано другое фундаментальное понятие математического анализа – дифференциал функции.
Определение 1. Функция y = f (x), определенная в некоторой окрестности точки x , называется дифференцируемой в точке x , если ее приращение в этой точке
y = f (x + x) − f (x)
имеет вид
y = A · x + α(Δx) · x,
где A – постоянная, а функция α(Δx) → 0 при x → 0.
Пусть y = f (x) – дифференцируемая функция, тогда дадим следующее определение.
Определение 2. Главная линейная | часть A · x | приращения | функции f (x) |
|
называется дифференциалом функции в точке x и обозначается dy. | ||||
Таким образом, | ||||
y = dy + α(Δx) · x. | ||||
Замечание 1. Величина dy = | x называется | главной линейной частью |
||
приращения y в связи с тем, что другая часть приращения α(Δx) · | x при малых |
|||
x становится гораздо меньше A · | ||||
Утверждение 1. Для того чтобы функция y = f (x) была дифференцируемой в точке x необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция f (x) дифференцируема в точке
x + α(Δx) · x, при | x → 0. Тогда | |||||||||||
A + lim α(Δx) = A. | ||||||||||||
Поэтому производная f ′ (x) существует и равна A. | ||||||||||||
Достаточность. Пусть существует | f ′ (x), т. е. существует предел lim | F ′ (x). |
||||||||||
F ′ (x) + α(Δx), | ||||||||||||
y = f ′ (x)Δx + α(Δx) · x.
Последнее равенство означает дифференцируемость функции y = f (x).
1.2. Геометрический смысл дифференциала
Пусть l касательная к графику функции y = f (x) в точке M (x, f (x)) (рис. 1). Покажем, что dy величина отрезка P Q. Действительно,
dy = f ′ (x)Δx = tg α x = | ||||||||||||||||
" "l | ||||||||||||||||
"" " " | ||||||||||||||||
" α | ||||||||||||||||
Итак, дифференциал dy функции f (x) в точке x равен приращению ординаты касательной l в этой точке.
1.3. Инвариантность формы дифференциала
Если x независимая переменная, то
dy = f ′ (x)dx.
Допустим, что x = ϕ(t), где t независимая переменная, y = f (ϕ(t)). Тогда
dy = (f (ϕ(t))′ dt = f′ (x)ϕ′ (t)dt = f′ (x)dx (ϕ′ (t)dt = dx).
Итак, форма дифференциала не изменилась, несмотря на то, что x не является независимой переменной. Это свойство и называется инвариантностью формы дифференциала.
1.4. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Из формулы y = dy + α(Δx) · x, отбрасывая α(Δx) · x, видно, что при малых
y ≈ dy = f ′ (x)Δx.
Отсюда получим
f (x + x) − f (x) ≈ f ′ (x)Δx,
f (x + x) ≈ f (x) + f ′ (x)Δx. (1) Формула (1) и используется в приближенных вычислениях.
1.5. Дифференциалы высших порядков
По определению, вторым дифференциалом от функции y = f (x) в точке x называется дифференциал от первого дифференциала в этой точке, который обозначается
d2 y = d(dy).
Вычислим второй дифференциал:
d2 y = d(dy) = d(f′ (x)dx) = (f′ (x)dx)′ dx = (f′′ (x)dx)dx = f′′ (x)dx2
(при вычислении производной (f ′ (x)dx)′ учтено, что величина dx не зависит от x и, следовательно, при дифференцировании является постоянной).
Вообще, дифференциалом порядка n функции y = f (x) называется первый
дифференциал | от дифференциала | этой функции, который |
|||||||||||
обозначается через | |||||||||||||
dn y = d(dn−1 y) | |||||||||||||
dn y = f(n) (x)dxn . | |||||||||||||
Найти дифференциал функции y = arctg x . |
|||||||||||||
Решение. dy = (arctg x)′ · dx = | |||||||||||||
1+x2 | |||||||||||||
Найти дифференциалы первого и второго порядков функции v = e2t . |
|||||||||||||
Решение. dv = 2e2t dt , d2 v = 4e2t dt2 . | |||||||||||||
Сравнить приращение и дифференциал функции y = 2x3 + 5x2 . |
|||||||||||||
Решение. Находим | |||||||||||||
5x2 = |
|||||||||||||
10x)Δx + (6x + 5)Δx | |||||||||||||
dy = (6x2 + 10x)dx. | |||||||||||||
Разность между приращением | y и дифференциалом dy есть бесконечно малая высшего |
||||||||||||
порядка по сравнению с | x , равная (6x + 5)Δx2 + 2Δx3 . | ||||||||||||
Пример 4. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3, 02 м.
Решение. Воспользуемся формулой S = πr2 . Полагая r = 3 , r = 0, 02 , имеем
S ≈ dS = 2πr · r = 2π · 3 · 0, 02 = 0, 12π.
Следовательно, приближенное значение площади круга составляет 9π + 0, 12π = 9, 12π ≈
28, 66 (м 2 ).
Пример 5. Вычислить приближенное значение arcsin 0, 51 c точностью до 0,001. Решение. Рассмотрим функцию y = arcsin x . Полагая x = 0, 5 , x = 0, 01 и
применяя формулу (1)
x) ≈ arcsin x + (arcsin x)′ · | (arcsin x)′ | |||||||||||||||||||||||||||||||||
≈ arcsin 0, 5 + | 0, 011 = 0, 513. | |||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − (0, 5)2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 6. Вычислить приближенно √ 3 | c точностью до 0,0001. | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Рассмотрим функцию y = √ 3 | и положим x = 8, | x = 0, 01. Аналогично |
||||||||||||||||||||||||||||||||
по формуле (1) | (√ 3 x)′ = | √3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
√ x + x ≈√ 3 x + (√ 3 x)′ · x, | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
3√ 3 64 | · 0, 01 = 2 + 3 · 4 · 0, 01 ≈ 2, 0008. | |||||||||||||||||||||||||||||||||
p 8, 01 ≈√ 8 + | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши
Определение 3. Говорят, что функция y = f (x) имеет (или достигает) в точке α локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность U (α) точки α, что для всех x U (α) :
f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием
локальный экстремум.
Функция, график которой изображен на рис. 4, имеет локальный максимум в точках β, β1 и локальный минимум в точках α, α1 .
Утверждение 2. (Ферма) Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке α и имеет в этой точке локальный экстремум. Тогда f ′ (α) = 0.
Идея доказательства теоремы Ферма следующая. Пусть для определенности f (x) имеет в точке α локальный минимум. По определению f ′ (α) есть предел при x → 0 отношения
f (α + x) − f (α) | ||||
Но при достаточно малых (по абсолютной величине) x | ||||
f (α + x) − f (α) ≥ 0. | ||||
Следовательно, при таких | x получаем | |||
Отсюда и следует, что | ||||
f ′ (α) = lim g(Δx) = 0. | ||||
Проведите полное доказательство самостоятельно. | ||||
Утверждение 3. (Ролля) | Если y = f (x) непрерывна на | Дифференцируема на |
||
(a, b) и f (a) = f (b), то существует такая точка α (a, b), | что f ′ (α) = 0. |
|||
Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке, найдутся такие точки x1 , x2 , что
экстремум. По условию теоремы f (x) дифференцируема в точке α. По теореме Ферма f ′ (α) = 0. Теорема доказана.
Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл (рис. 5): если крайние ординаты кривой y = f (x) равны, то на кривой y = f (x) найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси Ox.
Доказательство. Заметим, что g(a) =6 g(b). Действительно, в противном случае для функции g(x) были бы выполнены все условия теоремы Ролля. Следовательно, нашлась бы такая точка β (a, b), что g′ (β) = 0. Но это противоречит условию теоремы.
Рассмотрим следующую вспомогательную функцию:
F (x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (g(x) − g(a)). g(b) − g(a)
Функция F (x) непрерывна на , | дифференцируема на (a, b). Кроме того, очевидно, |
|||||||||
что′ | F (a) = F (b) = 0. Поэтому по теореме Ролля найдется такая точка α (a, b), что |
|||||||||
F (α) = 0, т. е. | ||||||||||
f ′ (α) | g′ (α) = 0. |
|||||||||
− g(b) | ||||||||||
Отсюда следует | ||||||||||
f ′ (α) | ||||||||||
g′ (α) |
||||||||||
Теорема доказана.
Утверждение 5. (Лагранжа) Если y = f (x) непрерывна на , дифференцируема на (a, b), то найдется такое α (a, b), что
F ′ (α).
Доказательство. Теорема Лагранжа прямо следует из теоремы Коши при g(x) =
Геометрически теорема Лагранжа означает, что на кривой y = f (x) между точками
A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна хорде AB. y
| теорема Ролля на этом отрезке | выполняется. Значение c | определяем | уравнения |
||||||||||||||||
f ′ (x) = 2x − 6 = 0, т. е. c = 3. | найти точку | M, в которой |
|||||||||||||||||
Пример 8. На дуге | AB кривой y = 2x − x |
||||||||||||||||||
касательная параллельна хорде | |||||||||||||||||||
Решение. Функция y = 2x −x | непрерывна и дифференцируема при всех значениях |
||||||||||||||||||
x. По теореме Лагранжа между двумя значениями a = 1, | b = 3 существует значение |
||||||||||||||||||
x = c, удовлетворяющее равенству y(b) − y(a) = (b − a) ·y′ (c), где y′ = 2 − 2x. Подставив соответствующие значения, получим
y(3) − y(1) = (3 − 1) · y′ (c),
(2 · 3 − 32 ) − (2 · 1 − 12 ) = (3 − 1) · (2 − 2c),
отсюда c = 2, y(2) = 0.
Таким образом, точка M имеет координаты (2; 0).
Пример 9. На дуге AB кривой, заданной параметрическими уравнениями
x = t2 , y = t3 , найти точку | M, в которой касательная параллельна хорде AB, если |
|||||||||||||||||
точкам A и B соответствуют значения t = 1 и t = 3. | ||||||||||||||||||
Решение. Угловой коэффициент хорды AB равен | А угловой коэффициент |
|||||||||||||||||
касательной в точке M (при | t = c) равен | y′ | (c)/x′ | x′ = 2t, | y′ = 3t2 . Для |
|||||||||||||
определения c по теореме Коши получаем уравнение | ||||||||||||||||||
yt ′ (c) | ||||||||||||||||||
xt ′ (c) | ||||||||||||||||||
т. е. c = 13/6.
Найденное значение c удовлетворяет неравенству 1 < c < 3. Подставив значение t = c в параметрические уравнения кривой, получаем x = 169/36, y = 2197/216. Итак искомая точка M (169/36; 2197/216).
Если
функция
дифференцируема в точке
,
то её
приращение можно представить в виде
суммы двух слагаемых
.
Эти слагаемые являются бесконечно
малыми функциями при 
.Первое слагаемое
линейно относительно 
,второе является
бесконечно малой более высокого порядка,
чем 
.Действительно,
.
Таким образом второе слагаемое
при
быстрее стремится к нулю и при нахождении
приращения функции
главную роль играет первое слагаемое
или (так как
)
.
Определение
.
Главная часть
приращения функции
в точке
,
линейная относительно
,называется
дифференциалом
функции
в этой точке
и обозначается
dy
или
df
(x
)
. (2)
Таким
образом, можно сделать вывод: дифференциал
независимой переменной совпадает с её
приращением, то есть
.
Соотношение (2) теперь принимает вид
(3)
Замечание . Формулу (3) для краткости часто записывают в виде
(4)
Геометрический смысл дифференциала
Рассмотрим
график дифференцируемой функции
.
Точки
ипринадлежат графику функции. В точкеМ
проведена
касательная К
к графику
функции, угол которой с положительным
направлением оси
обозначим через
.
Проведем прямыеMN
параллельно
оси Ox
и
параллельно осиOy
.
Приращение функции равно длине отрезка
.
Из прямоугольного треугольника
, в котором
,
получим
Изложенные выше рассуждения позволяют сделать вывод:
Дифференциал
функции
в точке
изображается приращением ординаты
касательной к графику этой функции в
соответствующей её точке
.
Связь дифференциала с производной
Рассмотрим формулу (4)
.
Разделим обе части этого равенства на dx , тогда
.
Таким образом, производная функции равна отношению её дифференциала к дифференциалу независимой переменной .
Часто
это отношение
рассматривается просто как символ,
обозначающий производную функцииу
по аргументу
х
.
Удобными обозначениями производной также являются:
,
и так далее.
Употребляются также записи
,
,
особенно удобные, когда берется производная от сложного выражения.
2. Дифференциал суммы, произведения и частного.
Так как дифференциал получается из производной умножением её на дифференциал независимой переменной, то, зная производные основных элементарных функций, а также правила для отыскания производных, можно прийти к аналогичным правилам для отыскания дифференциалов.
1 0 . Дифференциал постоянной равен нулю
.
2 0 . Дифференциал алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций
3 0 . Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений первой функции на дифференциал второй и второй функции на дифференциал первой
.
Следствие . Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала
.
Пример . Найти дифференциал функции .
Решение.Запишем данную функцию в виде
,
тогда получим
.
4. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.
Определение
.
Функция
называется заданной параметрически,
если обе переменныех
и
у
определяются
каждая в отдельности как однозначные
функции от одной и той же вспомогательной
переменной – параметра
t
:
где
t
изменяется в пределах
.
Замечание
.
Параметрическое задание функций широко
применяется в теоретической механике,
где параметр t
обозначает
время, а уравнения
представляют собой законы изменения
проекций движущейся точки
на оси
и
.
Замечание . Приведем параметрические уравнения окружности и эллипса.
а) Окружность с центром в начале координат и радиусом r имеет параметрические уравнения:
где
.
б) Запишем параметрические уравнения для эллипса:
где
.
Исключив параметр t из параметрических уравнений рассматриваемых линий, можно прийти к их каноническим уравнениям.
Теорема
.
Если функция у
от аргумента
х задана
параметрически уравнениями
,
где
и
дифференцируемые по
t
функции и
,
то
.
Пример . Найти производную функции у от х , заданной параметрическими уравнениями.
Решение.
.
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Дифференцирование многих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этого поступают следующим образом. Если требуется найти y " из уравнения y=f(x) , то можно:
Примеры.
ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Показательно-степенной функцией называется функция вида y = u v , где u=u(x), v=v(x) .
Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.
Примеры.
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать u=u(x) , v=v(x) , С=const. Для производных основных элементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции.
Примеры.
ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ. СВЯЗЬ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ И ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a ; b ]. Производная этой функции в некоторой точке х 0 Î [a ; b ] определяется равенством
.
Следовательно, по свойству предела
Умножая все члены полученного равенства на Δx , получим:
Δy = f " (x 0)·Δx + a·Δx.
Итак, бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f " (х 0) ≠ 0) главная часть приращения , линейная относительно Δx , а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx . Главную часть приращения функции, т.е. f " (х 0)·Δx называют дифференциалом функции в точке х 0 и обозначают через dy .
Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f " (x ) в точке x , то произведение производной f " (x ) на приращение Δx аргумента называют дифференциалом функции и обозначают:
Найдем дифференциал функции y= x . В этом случае y " = (x )" = 1 и, следовательно, dy =dx =Δx . Таким образом, дифференциал dx независимой переменной x совпадает с ее приращением Δx . Поэтому формулу (1) мы можем записать так:
| dy = f "(x )dx |
Но из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную f "(x ) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.
Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существование дифференциала в этой точке.
Справедливо и обратное утверждение.
Если для данного значения x приращение функции Δy = f (x +Δx ) – f(x) можно представить в виде Δy = A ·Δx + α, где α – бесконечно малая величина, удовлетворяющая условию , т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x , то эта функция имеет производную в точке x и f "(x )=А .
Действительно, имеем , и так как при Δx →0, то .
Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.
Примеры. Найти дифференциалы функций:
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox . Дадим независимой переменной x приращение Δx , тогда функция получит приращение Δy = NM 1 . Значениям x +Δx и y +Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка
M 1 (x +Δx ; y +Δy ).
Из ΔMNT находим NT =MN ·tg α. Т.к. tg α = f "(x ), а MN = Δx , то NT = f "(x )·Δx . Но по определению дифференциала dy =f "(x )·Δx , поэтому dy = NT .
Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.
ТЕОРЕМА ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Ранее мы видели, что если u является независимой переменной, то дифференциал функции y =f "(u ) имеет вид dy = f "(u )du .
Покажем, что эта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимой переменной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)) . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:
.
Следовательно, по определению
Но g "(x )dx = du , поэтому dy= f"(u)du .
Мы доказали следующую теорему.
Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(u) , для которой u=g(x) , имеет тот же вид dy=f"(u)du , какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.
Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала .
Пример. . Найти dy .
Учитывая свойство инвариантности дифференциала, находим
.
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
Пусть нам известно значение функции y 0 =f(x 0 ) и ее производной y 0 " = f "(x 0 ) в точке x 0 . Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x .
Как мы уже выяснили приращение функции Δy можно представить в виде суммы Δy =dy +α·Δx , т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy ≈dy или Δy »f "(x 0 )·Δx .
Т.к., по определению, Δy = f (x ) – f (x 0 ), то f(x) – f(x 0) ≈f "(x 0 )·Δx .
Примеры.
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a ; b ]. Значение производной f "(x ), вообще говоря, зависит от x , т.е. производная f "(x ) представляет собой тоже функцию переменной x . Пусть эта функция также имеет производную. Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x).
Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от данной функции y=f(x) и обозначается y ""или f ""(x ). Итак, y "" = (y ")".
Например, если у = х 5 , то y "= 5x 4 , а y ""= 20x 4 .
Аналогично, в свою очередь, производную второго порядка тоже можно дифференцировать. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается y"""или f"""(x ).
Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первая) от производной (n – 1)-го порядка и обозначается символом y (n) или f (n) (x ): y (n) = (y (n-1))".
Таким образом, для нахождения производной высшего порядка от данной функции последовательно находят все ее производные низших порядков.