Некоторые исследователи, вычислив значение коэффициента корреляции, на этом и останавливаются. Но с точки зрения грамотной методологии эксперимента следует определить и уровень значимости (то есть степень достоверности) данного коэффициента.
Уровень значимости коэффициента корреляции вычисляется при помощи таблицы критических значений. Ниже дан фрагмент указанной таблицы, позволяющий определить уровень значимости полученного нами коэффициента.
Мы выбираем ту строку, которая соответствует объему выборки. В нашем случае n = 10. Мы выбирает в данной строке то табличное значение, которое чуть меньше эмпирического (или точно равно ему, что бывает крайне редко). Это выделенное жирным шрифтом число 0,632. Оно относится к столбцу со значением уровня достоверности p = 0,05. То есть, фактически, эмпирическое значение занимает промежуточное положение между столбцами p = 0,05 и p = 0,01, следовательно, 0,05 p 0,01. Таким образом, мы отвергаем нулевую гипотезу и приходим к выводу, что полученный результат (R xy = 0,758) значим на уровне p < 0,05 (это уровень статистической значимости): R эмп > R кр (p < 0,05) H 0 , Н 1 ! ст. зн.
На бытовом языке это можно проинтерпретировать следующим образом: можно ожидать, что эта сила связи будет иметь место в выборке реже, чем в пяти случаях из 100, если эта связь – следствие случайности.
Регрессионный анализ
|
X (рост) |
Y (вес) |
|
|
М х = 166,6 |
М y = 58,3 |
|
|
x = 6 , 54 |
y = 8 , 34 |
Регрессионный анализ используется для изучения взаимосвязи между двумя величинами, измеренными в интервальной шкале. Этот вид анализа предусматривает построение регрессионного уравнения, позволяющего количественно описать зависимость одного признака от другого (коэффициент корреляции Пирсона указывает на наличие или отсутствие связи, но эту связь не описывает). Зная случайную величину одного из признаков и используя данное уравнение, исследователь может с определенной степенью вероятности предсказать соответствующее значение второго признака. Линейная зависимость признаков описывается уравнением следующего типа:
у = а + b y * x ,
где а - свободный член уравнения, равный подъему графика в точке х=0 относительно оси абсцисс, b – угловой коэффициент наклона линии регрессии равный тангенсу угла наклона графика к оси абсцисс (при условии, что масштаб значений на обеих осях одинаков).
Зная значения исследуемых признаков, можно определить величину свободного члена и коэффициента регрессии по следующим формулам:
а = M y – b y * M x
В
нашем случае:
;
а = 58,3 – 0,97 * 166,6 = -103,3
Таким образом, формула зависимости веса от роста выглядит следующим образом: у = 0,969 * х – 103,3
Соответствующий график приведен ниже.
Если необходимо описать зависимость роста от веса (х от у ), то значения а и b становятся другими и формулы необходимо соответствующим образом модифицировать:
x = а + b x * у
а = M x – b x * M y
Изменяется в таком случае и вид графика.
Коэффициент регрессии находится в тесной связи с коэффициентом корреляции. Последний представляет собой среднее геометрическое из коэффициентов регрессии признаков:
Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации. Его величина определяет процентное взаимное влияние переменных. В нашем случае R 2 = 0,76 2 = 0,58 . Это значит, что 58 % общей дисперсии Y объясняется влиянием переменной X, остальные 42 % обусловлены влиянием неучтенных в уравнении факторов.
Следует отметить, что истинным показателем степени линейной связи переменных является теоретический коэффициент корреляции , который рассчитывается на основании данных всей генеральной совокупности (т.е. всех возможных значений показателей):
где
- теоретический
показатель ковариции
,
который вычисляется как математическое
ожидание произведений отклонений СВ
и
от их математических ожиданий.
Как
правило, теоретический коэффициент
корреляции мы рассчитать не можем.
Однако из того, что выборочный коэффициент
не равен нулю
не следует, что теоретический коэффициент
также
(т.е. показатели могут быть линейно
независимыми). Т.о. по данным случайной
выборки нельзя утверждать, что связь
между показателями существует.
Выборочный коэффициент корреляции является оценкой теоретического коэффициента, т.к. он рассчитывается лишь для части значений переменных.
Всегда
существует ошибка
коэффициента корреляции
.
Эта ошибка - расхождение между коэффициентом
корреляции выборки объемом
и коэффициентом корреляции для генеральной
совокупности
определяется формулами:
при
;
и
при
.
Проверка значимости коэффициента линейной корреляции означает проверку того, насколько мы можем доверять выборочным данным.
С
этой целью проверяется нулевая гипотеза
о том, что значение коэффициента
корреляции для генеральной совокупности
равно нулю, т.е.в
генеральной совокупности отсутствует
корреляция
.
Альтернативной является гипотеза
.
Для
проверки этой гипотезы рассчитывается
-
статистика (
-критерий)
Стьюдента:
.
Которая
имеет распределение Стьюдента с
степенями свободы 1 .
По
таблицам распределения Стьюдента
определяется критическое значение
.
Если
рассчитанное значение критерия
,
то нуль-гипотеза отвергается, то есть
вычисленный коэффициент корреляции
значимо отличается от нуля с вероятностью
.
Если
же
,
тогда нулевая гипотеза не может быть
отвергнута. В этом случае не исключается,
что истинное значение коэффициента
корреляции равно нулю, т.е. связь
показателей можно считать статистически
незначимой.
Пример
1
. В таблице
приведены данные за 8 лет о совокупном
доходе
и расходах на конечное потребление
.
|
| ||||||||
|
|
Изучить и измерить тесноту взаимосвязи между заданными показателями.
Тема 4. Парная линейная регрессия. Метод наименьших квадратов
Коэффициент корреляции указывает на степень тесноты взаимосвязи между двумя признаками, но он не дает ответа на вопрос, как изменение одного признака на одну единицу его размерности влияет на изменение другого признака. Для того чтобы ответить на этот вопрос, пользуются методами регрессионного анализа.
Регрессионный
анализ
устанавливает
форму
зависимости между случайной величиной
и значениями переменной величины
,
причем, значения
считаются точно заданными.
Уравнение регрессии – это формула статистической связи между переменными.
Если эта формула линейна, то речь идет о линейной регрессии. Формула статистической связи двух переменных называется парной регрессией (нескольких переменных – множественной ).
Выбор формулы зависимости называется спецификацией уравнения регрессии. Оценка значений параметров выбранной формулы называется параметризацией .
Как же оценить значения параметров и проверить надёжность сделанных оценок?
Рассмотрим рисунок
На графике (а) взаимосвязь х и у близка к линейной, прямая линия 1 здесь близка к точкам наблюдений и последние отклоняются от неё лишь в результате сравнительно небольших случайных воздействий.
На графике (б) реальная взаимосвязь величин х и у описывается нелинейной функцией 2, и какую бы мы ни провели прямую линию (например, 1), отклонения точек от неё будут неслучайными.
На графике (в) взаимосвязь между переменными х и у отсутствует, и результаты параметризации любой формулы зависимости будут неудачными.
Начальным пунктом эконометрического анализа зависимостей обычно является оценка линейной зависимости переменных. Всегда можно попытаться провести такую прямую линию, которая будет «ближайшей» к точкам наблюдений по их совокупности (например, на рисунке (в) лучшей будет прямая 1, чем прямая 2).
Теоретическое уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
,
где
называютсятеоретическими
параметрами
(теоретическими
коэффициентами
)
регрессии;
-случайным
отклонением
(случайной
ошибкой
).
В общем виде теоретическую модель будем представлять в виде:
.
Для определения значений теоретических коэффициентов регрессии необходимо знать все значения переменных Х и Y , т.е. всю генеральную совокупность, что практически невозможно.
Задача
состоит в следующем: по имеющимся данным
наблюдений
,
необходимо оценить значения параметров
.
Пусть
а
– оценка
параметра
,b
– оценка
параметра
.
Тогда
оценённое уравнение регрессии имеет
вид: 
,
где
теоретические
значения зависимой переменнойy
,
- наблюдаемые значения ошибок
.
Это уравнение называетсяэмпирическим
уравнением регрессии
.
Будем его записывать в виде 
.
В основе оценки параметров линейной регрессии лежит Метод Наименьших Квадратов (МНК) – это метод оценивания параметров линейной регрессии, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от искомой линейной функции.
Функция
Q
является квадратичной функцией двух
параметров a
и b
.
Т.к. она непрерывна, выпукла и ограничена
снизу (
),
поэтому она достигает минимума.
Необходимым условием существования
минимума является равенство нулю её
частных производных поa
и b
:
.
Разделив оба уравнения системы на n , получим:
или
Иначе
можно записать:
и
средние квадратические отклонения
значений тех же признаков.
Т.о.
линия регрессии проходит через точку
со средними значениями х
и у
,
акоэффициент
регрессии
b
пропорционален
показателю ковариации и коэффициенту
линейной корреляции.
Если
кроме регрессии Y
на X
для тех же эмпирических значений найдено
уравнение регрессии X
на Y
(
,
где
),
то произведение коэффициентов
:
.
К
оэффициент
регрессии
это величина, показывающая, на сколько
единиц размерности изменится величина
при изменении величины
на одну единицу ее размерности. Аналогично
определяется коэффициент
.
; 
; 
.
Теперь вычислим значения выборочных средних квадратических отклонений:
https://pandia.ru/text/78/148/images/image443_0.gif" width="413" height="60 src=">.
Корреляционная связь между уровнем https://pandia.ru/text/78/148/images/image434_0.gif" width="25" height="24"> у десятиклассников, тем выше средний уровень успеваемости по математике, и наоборот.
2. Проверка значимости коэффициента корреляции
Так как выборочный коэффициент вычисляется по выборочным данным, то он является случайной величиной. Если , то возникает вопрос: объясняется ли это действительно существующей линейной связью между иhttps://pandia.ru/text/78/148/images/image301_1.gif" width="29" height="25 src=">.gif" width="27" height="25">: (если не известен знак корреляции); или односторонней https://pandia.ru/text/78/148/images/image448_0.gif" width="43" height="23 src=">.gif" width="43" height="23 src="> (если знак корреляции может быть заранее определен).
Способ 1. Для проверки гипотезы используется https://pandia.ru/text/78/148/images/image150_1.gif" width="11" height="17 src=">-критерия Стьюдента по формуле
https://pandia.ru/text/78/148/images/image406_0.gif" width="13" height="15">.gif" width="36 height=25" height="25">.gif" width="17" height="16"> и числе степеней свободы для двустороннего критерия.
Критическая область задается неравенством 
.
Если https://pandia.ru/text/78/148/images/image455_0.gif" width="99" height="29 src=">, то нулевая гипотеза отклоняется. Делаем выводы:
§ для двусторонней альтернативной гипотезы – коэффициент корреляции значимо отличается от нуля;
§ для односторонней гипотезы – существует статистически значимая положительная (или отрицательная) корреляция.
Способ 2. Можно воспользоваться также таблицей критических значений коэффициента корреляции , из которой находим величину критического значения коэффициента корреляции по числу степеней свободы https://pandia.ru/text/78/148/images/image367_1.gif" width="17 height=16" height="16">.
Если https://pandia.ru/text/78/148/images/image459_0.gif" width="101" height="29 src=">, то делается вывод, что коэффициент корреляции значимо отличатся от 0 и существует статистически значимая корреляция .
Так, одни явления могут одновременно, но независимо друг от друга (совместные события) происходить или изменяться (ложная регрессия). Другие – находиться в причинной зависимости не друг с другом, а по более сложной причинно-следственной связи (косвенная регрессия). Таким образом, при значимом коэффициенте корреляции окончательный вывод о наличии причинно-следственной связи можно сделать только с учетом специфики исследуемой проблемы.
Пример 2. Определить значимость выборочного коэффициента корреляции, вычисленного в примере 1.
Решение.
Выдвинем гипотезу : о том, что в генеральной совокупности отсутствует корреляция. Так как знак корреляции в результате решения примера 1 определен – корреляция положительна, то альтернативная гипотеза является односторонней вида https://pandia.ru/text/78/148/images/image448_0.gif" width="43" height="23 src=">.
Найдем эмпирическое значение -критерия:
https://pandia.ru/text/78/148/images/image461_0.gif" width="167 height=20" height="20">, уровень значимости выберем равным . По таблице «Критические значения -критерия Стьюдента при различных уровнях значимости» находим критическое значение .
Так как https://pandia.ru/text/78/148/images/image434_0.gif" width="25 height=24" height="24"> и средним уровнем успеваемости по математике существует статистически значимая корреляция.
Тестовые задания
1. Отметьте не менее двух правильных ответов. Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции основана на статистической проверке гипотезы о том, что …
1) в генеральной совокупности отсутствует корреляция
2) отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки
3) коэффициент корреляции значимо отличается от 0
4) отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции не случайно
2. Если выборочный коэффициент линейной корреляции , то большему значению одного признака соответствует … большее значение другого признака.
1) в среднем
3) в большинстве наблюдений
4) изредка
3. Выборочный коэффициент корреляции https://pandia.ru/text/78/148/images/image465_0.gif" width="64" height="23 src="> (для объема выборки и уровне значимости 0,05). Можно ли говорить, что существует статистически значимая положительная корреляция между психологическими признаками?
5. Пусть в задаче выявления силы линейной связи между психологическими признаками найден выборочный коэффициент корреляции https://pandia.ru/text/78/148/images/image466_0.gif" width="52 height=20" height="20"> и уровне значимости 0,05). Можно ли говорить, что отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки?
Тема 3. коэффициенты ранговой корреляции и ассоциации
1. Коэффициент ранговой корреляции https://pandia.ru/text/78/148/images/image130_3.gif" width="21 height=19" height="19"> и. Число значений признаков (показателей, испытуемых, качеств, черт) может быть любым, но их число должно быть одинаково.
Испытуемые | ||||
Ранги признака | ||||
Ранги признака |
Обозначим разность между рангами по двум переменным для каждого испытуемого через https://pandia.ru/text/78/148/images/image470_0.gif" width="319" height="66">,
где - количество значений ранжируемых признаков, показателей.
Коэффициент корреляции рангов принимает значения в пределах от –1 до +1 и рассматривается как средство быстрой оценки коэффициента корреляции Пирсона .
Для проверки значимости коэффициента корреляции рангов Спирмена (если число значений https://pandia.ru/text/78/148/images/image472_0.gif" width="55" height="29"> зависит от числа и уровня значимости . Если эмпирическое значение больше , то на уровне значимости можно утверждать, что признаки связаны корреляционной зависимостью.
Пример 1. Психолог выясняет, как связаны результаты успеваемости учащихся по математике и физике, результаты которых приведены в виде ранжированного ряда по фамилиям.
Учащийся | Сумма |
||||||||||
Успеваемость по математике | |||||||||||
Успеваемость по физике | |||||||||||
Квадрат разности между рангами |
Вычислим сумму , тогда коэффициент корреляции рангов Спирмена равен:
Проверим значимость найденного рангового коэффициента корреляции . Найдем критические значения коэффициента ранговой корреляции Спирмена по таблице (см. Приложения) для :
https://pandia.ru/text/78/148/images/image480_0.gif" width="72" height="25"> больше значения = 0,64 и значения 0,79. Это говорит о том, что значение попало в область значимости коэффициента корреляции. Поэтому можно утверждать, что коэффициент корреляции рангов Спирмена значимо отличается от 0; значит, результаты успеваемости учащихся по математике и физике связаны положительной корреляционной зависимостью . Существует значимая положительная корреляция между успеваемостью по математике и успеваемостью по физике: чем лучше успеваемость по математике, тем в среднем лучше результаты по физике, и наоборот.
Сравнивая коэффициенты корреляции Пирсона и Спирмена, отметим, что коэффициент корреляции Пирсона соотносит значения величин , а коэффициент корреляции Спирмена – значения рангов этих величин, поэтому значения коэффициентов Пирсона и Спирмена часто оказываются несовпадающими.
Для более полного осмысления экспериментального материала, получаемого в психологических исследованиях, целесообразно осуществлять подсчет коэффициентов и по Пирсону, и по Спирмену.
Замечание
. При наличии одинаковых рангов
в ранговых рядах и в числитель формулы вычисления коэффициента корреляции рангов добавляются слагаемые – «поправки на ранги»: 
; 
,
где https://pandia.ru/text/78/148/images/image130_3.gif" width="21" height="19">;
https://pandia.ru/text/78/148/images/image165_1.gif" width="16" height="19">.
В этом случае формула для вычисления коэффициента ранговой корреляции принимает вид https://pandia.ru/text/78/148/images/image485_0.gif" width="16" height="19">.
Условия применения коэффициента ассоциации .
1. Сравниваемые признаки измерены в дихотомической шкале.
2..gif" width="21" height="19">, , обозначенные символами 0 и 1, приведены в таблице.
Номер наблюдения |
Полный вариант этой заметки (с формулами и таблицами) можно скачать с этой страницы в формате PDF. Размещенный на самой странице текст является кратким изложением содержания этой заметки и наиболее важных выводов.
Оптимистам от статистики посвящается
Коэффициент корреляции (КК) -- одна из наиболее простых и популярных статистик, характеризующих связь между случайными величинами. Одновременно КК удерживает первенство по числу сделанных с его помощью ошибочных и просто бессмысленных выводов. Такое положение обусловлено сложившейся практикой изложения материала, относящегося к корреляции и корреляционным зависимостям.
Большие, маленькие и "промежуточные" значения КК
При рассмотрении корреляционной связи подробно обсуждается понятие «сильной» (почти единичной) и «слабой» (почти нулевой) корреляции, но на практике ни та, ни другая никогда не встречаются. В результате остается неясным вопрос о разумной трактовке обычных для практики «промежуточных» значений КК. Коэффициент корреляции, равный 0.9 или 0.8 , новичку внушает оптимизм, а меньшие значения приводят его в замешательство.
По мере приобретения опыта оптимизм растет, и вот уже КК, равный 0.7 или 0.6 приводит исследователя в восторг, а оптимизм внушают значения 0.5 и 0.4 . Если же исследователь знаком с методами проверки статистических гипотез, то порог «хороших» значений КК падает до 0.3 или 0.2 .
Действительно, какие значения КК уже можно считать «достаточно большими», а какие остаются «слишком маленькими»? На этот вопрос имеется два диаметрально противоположных ответа -- оптимистичный и пессимистичный. Рассмотрим сначала оптимистичный (наиболее популярный) вариант ответа.
Значимость коэффициента корреляции
Этот вариант ответа дает нам классическая статистика и он связан с понятием статистической значимости КК. Мы рассмотрим здесь только ситуацию, когда интерес представляет положительная корреляционная связь (случай отрицательной корреляционной связи совершенно аналогичен). Более сложный случай, когда проверяется только наличие корреляционной связи без учета знака, относительно редко встречается на практике.
Если для КК r выполнено неравенство r > r e (n) , то говорят, что КК статистически значим при уровне значимости е . Здесь r e (n) -- квантиль, относительно которого нас будет интересовать только то, что при фиксированном уровне значимости e его значение стремится к нулю с ростом длины n выборки. Получается, что увеличивая массив данных можно добиться статистической значимости КК даже при весьма малых его значениях. В результате при наличии достаточно большой выборки появляется соблазн признать наличие в случае КК, равного, например, 0.06 . Тем не менее, здравый смысл подсказывает, что вывод о наличии значимой корреляционной связи при r=0.06 не может быть справедливым ни при каком объеме выборки. Остается понять природу ошибки. Для этого рассмотрим подробнее понятие статистической значимости.
Как обычно, при проверке статистических гипотез смысл проводимых расчетов кроется в выборе нуль-гипотезы и альтернативной гипотезы. При проверке значимости КК в качестве нуль-гипотезы берется предположение { r = 0 } при альтернативной гипотезе { r > 0 } (напомним, что мы рассматриваем здесь только ситуацию, когда интерес представляет положительная корреляционная связь). Выбираемый произвольно уровень значимости e определяет вероятность т.н. ошибки первого рода, когда нуль-гипотеза верна (r=0 ), но отклоняется статистическим критерием (т.е. критерий ошибочно признает наличие значимой корреляции). Выбирая уровень значимости, мы гарантируем малую вероятность такой ошибки, т.е. мы почти застрахованы от того, чтобы для независимых выборок (r=0 ) ошибочно признать наличие корреляционной связи (r > 0 ). Грубо говоря, значимость коэффициента корреляции означает только то, что он с большой вероятностью отличен от нуля .
Именно поэтому размер выборки и величина КК компенсируют друг друга -- большие выборки попросту позволяют добиться большей точности в локализации малого КК по его выборочной оценке.
Ясно, что понятие значимости не дает ответа на исходный вопрос о понимании категорий "большой/маленький" применительно к значениям КК. Ответ, даваемый критерием значимости, ничего не говорит нам о свойствах корреляционной связи, а позволяет только убедиться, что с большой вероятностью выполнено неравенство r > 0 . В то же время, само значение КК содержит значительно более существенную информацию о свойствах корреляционной связи. Действительно, одинаково значимые КК, равные 0.1 и 0.9 , существенно различаются по степени выраженности соответствующей корреляционной связи, а утверждение о значимости КК r = 0.06 для практики абсолютно бесполезно, поскольку при любых объемах выборки ни о какой корреляционной связи здесь говорить не приходится.
Окончательно можно сказать, что на практике из значимости коэффициента корреляции не следуют какие бы то ни было свойства корреляционной связи и даже само ее существование . С точки зрения практики порочен сам выбор альтернативной гипотезы, используемой при проверке значимости КК, поскольку случаи r=0 и r>0 при малых r с практической точки зрения неотличимы.
Фактически, когда из значимости КК выводят существование значимой корреляционной связи , производят совершенно беспардонную подмену понятий, основанную на смысловой неоднозначности слова "значимость". Значимость КК (четко определенное понятие) обманно превращают в "значимую корреляционную связь", а это словосочетание, не имеющее строгого определения, трактуют как синоним "выраженной корреляционной связи".
Расщепление дисперсии
Рассмотрим другой вариант ответа на вопрос о "малых" и "больших" значениях КК. Этот вариант ответа связан с выяснением регрессионоого смысла КК и оказывается весьма полезным для практики, хотя и отличается гораздо меньшим оптимизмом, чем критерии значимости КК.
Интересно, что обсуждение регрессионоого смысла КК часто наталкивается на трудности дидактического (а скорее психологического) характера. Кратко прокомментируем их. После формального введения КК и пояснения смысла "сильной" и "слабой" корреляционной связи считается необходимым углубиться в обсуждение философских вопросов соотношения между корреляционными и причинно-следственными связями. При этом делаются энергичные попытки откреститься от (гипотетической!) попытки трактовать корреляционную связь как причинно-следственную. На этом фоне обсуждение вопроса о наличии функциональной зависимости (в том числе и регрессионной) между коррелирующими величинами начинает казаться попросту кощунственной. Ведь от функциональной зависимости до причинно-следственной связи всего один шаг! В результате вопрос о регрессионном смысле КК вообще обходится стороной, так же как и вопрос о корреляционных свойствах линейной регресии.
На самом деле тут все просто. Если для нормированных (т.е. имеющих нулевое матожидание и единичную дисперсию) случайных величин X и Y имеет место соотношение
Y = a + bX + N,
где N -- некоторая случайная величина с нулевым матожиданием (аддитивный шум), то легко убедиться, что a = 0 и b = r . Это соотношение между случайными величинами X и Y называется уравнением линейной регрессии.
Вычисляя дисперсию случайной величины Y легко получить следующее выражение:
D[Y] = b 2 D[X] + D[N].
В последнем выражении первое слагаемое определяет вклад случайной величины X в дисперсию Y , а второе слагаемое -- вклад шума N в дисперсию Y . Используя полученное выше выражение для параметра b , легко выразить вклады случайных величин X и N через величину r = r (напомним, что мы считаем величины X и Y нормированными, т.е. D[X] = D[Y] = 1 ):
b 2 D[X] = r 2
D[N] = 1 - r 2
С учетом полученных формул часто говорят, что для случайных величин X и Y , связанных регрессионным уравнением, величина r 2 определяет долю дисперсии случайной величины Y , линейно обусловленную изменением случайной величины X . Итак, суммарная дисперсия случайной величины Y распадается на дисперсию, линейно обусловленную наличием регрессионной связи и остаточную дисперсию , обусловленную присутствием аддитивного шума.
Рассмотрим диаграмму рассеяния двумерной случайной величины (X, Y) . При малых D[N] диаграмма рассеяния вырождается в линейную зависимость между случайными величинами, слегка искаженную аддитивным шумом (т.е. точки на диаграмме рассеяния будут в основном сосредоточены вблизи прямой X=Y ). Такой случай имеет место при значениях r , близких по модулю к единице. При уменьшении (по модулю) величины КК дисперсия шумовой составляющей N начинает давать все больший вклад в дисперсию величины Y и при малых r диаграмма рассеяния полностью теряет сходство с прямой линией. В этом случае мы имеем облако точек, рассеяние которых в основном обусловлено шумом. Именно этот случай реализуется при значимых, но малых по абсолютной величине значениях КК. Ясно, что в этом случае ни о какой корреляционной связи говорить не приходится.
Посмотрим теперь, какой вариант ответа на вопрос о "больших" и "маленьких" значениях КК предлагает нам регрессионная интерпретация КК. В первую очередь необходимо подчеркнуть, что именно дисперсия является наиболее естественной мерой рассеяния значений случайной величины. Природа этой "естественности" состоит в аддитивности дисперсии для независимых случайных величин, но это свойство имеет очень многообразные проявления, к числу которых относится и продемонстрированное выше расщепление дисперсии на линейно обусловленную и остаточную дисперсии.
Итак, величина r 2 определяет долю дисперсии величины Y , линейно обусловленную наличием регрессионной связи со случайной величиной X . Вопрос о том, какую долю линейно обусловленной дисперсии можно считать признаком наличия выраженной корреляционной связи, остается на совести исследователя. Тем не менее, становится ясно, что малые значения коэффициента корреляции (r < 0.3 ) дают настолько малую долю линейно объясненной дисперсии, что бессмысленно говорить о какой бы то ни было выраженной корреляционной связи. При r > 0.5 можно говорить о наличии заметной корреляционной связи между величинами, а при r > 0.7 корреляционная связь может рассматриваться как существенная.
Значимость коэффициентов корреляции проверяемся по критерию Стьюдента:
где - среднеквадратическая ошибка коэффициента корреляции, которая определяется по формуле:
Если расчетное значение (выше табличного, то можно сделать заключение о том, что величина коэффициента корреляции является значимой. Табличные значения t находят по таблице значений критериев Стьюдента. При этом учитываются количество степеней свободы (V = п - 1)и уровень доверительной вероятности (в экономических расчетах обычно 0,05 или 0,01). В нашем примере количество степеней свободы равно: п - 1 = 40 - 1 = 39. При уровне доверительной вероятности Р = 0,05; t = 2,02. Поскольку (фактическое (табл. 7.8) во всех случаях выше t-табличного, связь между результативным и факторными показателями является надежной, а величина коэффициентов корреляции - значимой.
Следующий этап корреляционного анализа -расчет уравнения связи (регрессии). Решение проводится обычно шаговым способом. Сначала в расчет принимается один фактор, который оказывает наиболее значимое влияние на результативный показатель, потом второй, третий и т.д. И на каждом шаге рассчитываются уравнение связи, множественный коэффициент корреляции и детерминации, F-отношение (критерий Фишера), стандартная ошибка и другие показатели, с помощью которых оценивается надежность уравнения связи. Величина их на каждом шаге сравнивается с предыдущей. Чем выше величина коэффициентов множественной корреляции, детерминации и критерия Фишера и чем ниже величина стандартной ошибки, тем точнее уравнение связи описывает зависимости, сложившиеся между исследуемыми показателями. Если добавление следующих факторов не улучшает оценочных показателей связи, то надо их отбросить, т.е. остановиться на том уравнении, где эти показатели наиболее оптимальны.
Сравнивая результаты на каждом шаге (табл.7.9), мы можем сделать вывод, что наиболее полно описывает зависимости между изучаемыми показателями пятифакторная модель, полученная на пятом шаге. В результате уравнение связи имеет вид:
Коэффициенты уравнения показывают количественное воздействие каждого фактора на результативный показатель при неизменности других. В данном случае можно дать следующую интерпретацию полученному уравнению: рентабельность повышается на 3,65 % при увеличении материалоотдачи на 1 руб.; на 0,09 % - с ростом фондоотдачи на 1 коп.; на 1,02 %-с повышением среднегодовой выработки продукции на одного работника на 1 млн руб.; на 0,052 %- при увеличении удельного веса продукции высшей категории качества на 1 %. С увеличением продолжительности оборота средств на 1 день рентабельность снижается в среднем на 0,122 %.
Коэффициенты регрессии в уравнении связи имеют разные единицы измерения, что делает их несопоставимыми, если возникает вопрос о сравнительной силе воздействия факторов на результативный показатель. Чтобы привести их в сопоставимый вид, все переменные уравнения регрессии выражают в долях среднеквадратического отклонения, другими словами, рассчитывают стандартизированные коэффициенты регрессии. Их еще называют бетта-коэффициентами по символу, который принят для их обозначения (р).
Бетта-коэффициенты и коэффициенты регрессии связаны следующим отношением:
Смотрите также: