Логарифмические выражения, решение примеров. В этой статье мы рассмотрим задачи связанные с решением логарифмов. В заданиях ставится вопрос о нахождении значения выражения. Нужно отметить, что понятие логарифма используется во многих заданиях и понимать его смысл крайне важно. Что касается ЕГЭ, то логарифм используется при решении уравнений, в прикладных задачах, также в заданиях связанных с исследованием функций.
Приведём примеры для понимания самого смысла логарифма:
Основное логарифмическое тождество:
Свойства логарифмов, которые необходимо всегда помнить:
*Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
* * *
*Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.
* * *
*Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.
* * *
*Переход к новому основанию
* * *
Ещё свойства:
* * *
Вычисление логарифмов тесно связано с использованием свойств показателей степени.
Перечислим некоторые из них:
Суть данного свойства заключается в том, что при переносе числителя в знаменатель и наоборот, знак показателя степени меняется на противоположный. Например:
Следствие из данного свойства:
* * *
При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.
* * *
Как вы убедились само понятие логарифма несложное. Главное то, что необходима хорошая практика, которая даёт определённый навык. Разумеется знание формул обязательно. Если навык в преобразовании элементарных логарифмов не сформирован, то при решении простых заданий можно легко допустить ошибку.
Практикуйтесь, решайте сначала простейшие примеры из курса математики, затем переходите к более сложным. В будущем обязательно покажу, как решаются «страшненькие» логарифмы, таких на ЕГЭ не будет, но они представляют интерес, не пропустите!
На этом всё! Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Логарифмические уравнения. Продолжаем рассматривать задачи из части В ЕГЭ по математике. Мы с вами уже рассмотрели решения некоторых уравнений в статьях « » , « » . В этой статье рассмотрим логарифмические уравнения. Сразу скажу, что никаких сложных преобразований при решении таких уравнений на ЕГЭ не будет. Они просты.
Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.
Определение :
Логарифмом числа a по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.
Например:
Log 3 9 = 2, так как 3 2 = 9
Свойства логарифмов:
Частные случаи логарифмов:
Решим задачи. В первом примере мы сделаем проверку. В последующих проверку сделайте самостоятельно.
Найдите корень уравнения: log 3 (4–x) = 4
Так как log b a = x b x = a, то
3 4 = 4 – x
x = 4 – 81
x = – 77
Проверка:
log 3 (4–(–77)) = 4
log 3 81 = 4
3 4 = 81 Верно.
Ответ: – 77
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения: log 2 (4 – x) = 7
Найдите корень уравнения log 5 (4 + x) = 2
Используем основное логарифмическое тождество.
Так как log a b = x b x = a, то
5 2 = 4 + x
x =5 2 – 4
x = 21
Проверка:
log 5 (4 + 21) = 2
log 5 25 = 2
5 2 = 25 Верно.
Ответ: 21
Найдите корень уравнения log 3 (14 – x) = log 3 5.
Имеет место следующее свойство, смысл его таков: если в левой и правой частях уравнения имеем логарифмы с одинаковым основанием, то можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов.
14 – x = 5
x = 9
Сделайте проверку.
Ответ: 9
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения log 5 (5 – x) = log 5 3.
Найдите корень уравнения: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).
Если log c a = log c b, то a = b
x + 3 = 4x – 15
3x = 18
x = 6
Сделайте проверку.
Ответ: 6
Найдите корень уравнения log 1/8 (13 – x) = – 2.
(1/8) –2 = 13 – x
8 2 = 13 – x
x = 13 – 64
x = – 51
Сделайте проверку.
Небольшое дополнение – здесь используется свойство
степени ().
Ответ: – 51
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения: log 1/7 (7 – x) = – 2
Найдите корень уравнения log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.
Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:
log a b m = m∙log a b
log 2 (4 – x) = log 2 5 2
Если log c a = log c b, то a = b
4 – x = 5 2
4 – x = 25
x = – 21
Сделайте проверку.
Ответ: – 21
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3
Решите уравнение log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)
Если log c a = log c b, то a = b
x 2 + 4x = x 2 + 11
4x = 11
x = 2,75
Сделайте проверку.
Ответ: 2,75
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).
Решите уравнение log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.
Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:
log 2 (......)
Представляем 1 как логарифм с основанием 2:
1 = log 2 2
log с (ab) = log с a + log с b
log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2
Получаем:
log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)
Если log c a = log c b, то a = b, значит
2 – x = 4 – 6x
5x = 2
x = 0,4
Сделайте проверку.
Ответ: 0,4
Решите самостоятельно: Далее необходимо решить квадратное уравнение. Кстати,
корни равны 6 и – 4.
Корень "– 4" не является решением, так как основание логарифма должно быть больше нуля, а при " – 4" оно равно « – 5». Решением является корень 6. Сделайте проверку.
Ответ: 6.
Решите самостоятельно:
Решите уравнение log x –5 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Как вы убедились, никаких сложных преобразований с логарифмическими уравнениями нет. Достаточно знать свойства логарифма и уметь применять их. В задачах ЕГЭ, связанных с преобразованием логарифмических выражений, выполняются более серьёзные преобразования и требуются более глубокие навыки в решении. Такие примеры мы рассмотрим, не пропустите! Успехов вам!!!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Рассмотрим некоторые типы логарифмических уравнений, которые не так часто рассматриваются на уроках математики в школе, но широко используются при составлении конкурсных заданий, в том числе и для ЕГЭ.
1. Уравнения, решаемые методом логарифмирования
При решении уравнений, содержащих переменную и в основании и в показателе степени, используют метод логарифмирования. Если, при этом, в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо логарифмировать по основанию этого логарифма.
Пример 1.
Решить уравнение: х log 2 х+2 = 8.
Решение.
Прологарифмируем левую и правую части уравнения по основанию 2. Получим
log 2 (х log 2 х+2) = log 2 8,
(log 2 х + 2) · log 2 х = 3.
Пусть log 2 х = t.
Тогда (t + 2)t = 3.
t 2 + 2t – 3 = 0.
D = 16. t 1 = 1; t 2 = -3.
Значит log 2 х = 1 и х 1 = 2 или log 2 х = -3 и х 2 =1/8
Ответ: 1/8; 2.
2. Однородные логарифмические уравнения.
Пример 2.
Решить уравнение log 2 3 (х 2 – 3х + 4) – 3log 3 (х + 5) log 3 (х 2 – 3х + 4) – 2log 2 3 (х + 5) = 0
Решение.
Область определения уравнения
{х 2 – 3х + 4 > 0,
{х + 5 > 0. → х > -5.
log 3 (х + 5) = 0 при х = -4. Проверкой определяем, что данное значение х не
является корнем первоначального уравнения. Следовательно можно разделить обе части уравнения на log 2 3 (х + 5).
Получим log 2 3 (х 2 – 3х + 4) / log 2 3 (х + 5) – 3 log 3 (х 2 – 3х + 4) / log 3 (х + 5) + 2 = 0.
Пусть log 3 (х 2 – 3х + 4) / log 3 (х + 5) = t. Тогда t 2 – 3 t + 2 = 0. Корни данного уравнения 1; 2. Возвратившись к первоначальной переменной, получим совокупность двух уравнений
Но с учётом существования логарифма нужно рассматривать лишь значения (0; 9]. Значит выражение в левой части принимает наибольшее значение 2 при х = 1. Рассмотрим теперь функцию у = 2 х-1 + 2 1-х. Если принять t = 2 x -1, то она примет вид у = t + 1/t, где t > 0. При таких условиях она имеет единственную критическую точку t = 1. Это точка минимума. У vin = 2. И достигается он при х = 1.
Теперь очевидно, что графики рассматриваемых функций могут пересекаться лишь один раз в точке (1; 2). Получается, что х = 1 единственный корень решаемого уравнения.
Ответ: х = 1.
Пример 5. Решить уравнение log 2 2 х + (х – 1) log 2 х = 6 – 2х
Решение.
Решим данное уравнение относительно log 2 х. Пусть log 2 х = t. Тогда t 2 + (х – 1) t – 6 + 2х = 0.
D = (х – 1) 2 – 4(2х – 6) = (х – 5) 2 . t 1 = -2; t 2 = 3 – х.
Получим уравнение log 2 х = -2 или log 2 х = 3 – х.
Корень первого уравнения х 1 = 1/4.
Корень уравнения log 2 х = 3 – х найдём подбором. Это число 2. Этот корень единственный, так как функция у = log 2 х возрастающая на всей области определения, а функция у = 3 – х – убывающая.
Проверкой легко убедится в том, что оба числа являются корнями уравнения
Ответ:1/4; 2.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Логарифмическим уравнением
называется уравнение, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений подразумевает, что вы уже знакомы с и .
Как решать логарифмические уравнения?
Самое простое уравнение имеет вид log a x = b
, где a и b -некоторые числа,x - неизвестное.
Решением логарифмическое уравнения
является x = a b при условии: a > 0, a 1.
Следует отметить, что если х будет находиться где-нибудь вне логарифма, например log 2 х = х-2, то такое уравнение уже называется смешанным и для его решения нужен особый подход.
Идеальным случаем является ситуация, когда Вам попадется уравнение, в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log 2 2. Здесь достаточно знать свойства логарифмов для его решения. Но такая удача случается не часто, поэтому приготовьтесь к более сложным вещам.
Но сначала, все-таки, начнём с простых уравнений. Для их решения желательно иметь самое общее представление о логарифме.
Решение простейших логарифмических уравнений
К таковым относятся уравнения типа log 2 х = log 2 16. Невооруженным глазом видно, что опустив знак логарифма получим х = 16.
Для того, чтобы решить более сложное логарифмическое уравнение, его обычно приводят к решению обычного алгебраического уравнения или к решению простейшего логарифмического уравнения log a x = b. В простейших уравнениях это происходит в одно движение, поэтому они и носят название простейших.
Вышеиспользованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила или ограничения для подобного рода операций:
- одинаковые числовые основания у логарифмов
- логарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно, т.е. без каких бы то ни было коэффициентов и других разного рода выражений.
Скажем в уравнении log 2 х = 2log 2 (1- х) потенцирование неприменимо - коэффициент 2 справа не позволяет. В следующем примере log 2 х+log 2 (1 - х) = log 2 (1+х) также не выполняется одно из ограничений - слева логарифма два. Вот был бы один – совсем другое дело!
Вообщем, убирать логарифмы можно только при условии, что уравнение имеет вид:
log a (...) = log a (...)
В скобках могут находится совершенно любые выражения, на операцию потенцирования это абсолютно никак не влияет. И уже после ликвидации логарифмов останется более простое уравнение – линейное, квадратное, показательное и т.п., которое Вы уже, надеюсь, умеете решать.
Возьмем другой пример:
log 3 (2х-5) = log 3 х
Применяем потенцирование, получаем:
log 3 (2х-1) = 2
Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм - это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т.е. (4х-1), получаем:
Опять получили красивый ответ. Здесь мы обошлись без ликвидации логарифмов, но потенцирование применимо и здесь, потому как логарифм можно сделать из любого числа, причем именно такой, который нам надо. Этот способ очень помогает при решении логарифмических уравнений и особенно неравенств.
Решим наше логарифмическое уравнение log 3 (2х-1) = 2 с помощью потенцирования:
Представим число 2 в виде логарифма, например, такого log 3 9, ведь 3 2 =9.
Тогда log 3 (2х-1) = log 3 9 и опять получаем все то же уравнение 2х-1 = 9. Надеюсь, все понятно.
Вот мы и рассмотрели как решать простейшие логарифмические уравнения, которые на самом деле очень важны, ведь решение логарифмических уравнений , даже самых страшных и закрученных, в итоге всегда сводится к решению простейших уравнений.
Во всем, что мы делали выше, мы упускали из виду один очень важный момент, который в последующем будет иметь решающую роль. Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения, даже самого элементарного, состоит из двух равноценных частей. Первая – это само решение уравнения, вторая - работа с областью допустимых значений (ОДЗ). Вот как раз первую часть мы и освоили. В вышеприведенных примерах ОДЗ на ответ никак не влияет, поэтому мы ее и не рассматривали.
А вот возьмем другой пример:
log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)
Внешне это уравнение ничем не отличается от элементарного, которое весьма успешно решается. Но это не совсем так. Нет, мы конечно же его решим, но скорее всего неправильно, потому что в нем кроется небольшая засада, в которую сходу попадаются и троечники, и отличники. Давайте рассмотрим его поближе.
Допустим необходимо найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько:
log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)
Применяем потенцирование, здесь оно допустимо. В итоге получаем обычное квадратное уравнение.
Находим корни уравнения:
Получилось два корня.
Ответ: 3 и -1
С первого взгляда все правильно. Но давайте проверим результат и подставим его в исходное уравнение.
Начнем с х 1 = 3:
log 3 6 = log 3 6
Проверка прошла успешно, теперь очередь х 2 = -1:
log 3 (-2) = log 3 (-2)
Так, стоп! Внешне всё идеально. Один момент - логарифмов от отрицательных чисел не бывает! А это значит, что корень х = -1 не подходит для решения нашего уравнения. И поэтому правильный ответ будет 3, а не 2, как мы написали.
Вот тут-то и сыграла свою роковую роль ОДЗ, о которой мы позабыли.
Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера.
Без ОДЗ любое решение, даже абсолютно правильное, любого уравнения превращается в лотерею - 50/50.
Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера? А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения.
Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения?
Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход!
Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в нашу ОДЗ, и записываем окончательный вариант.
Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и т.п. Пока мы не решили уравнение, мы не знаем – чему равно х, но твердо знаем, что такие х, которые при подстановке дадут деление на 0 или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, заведомо в ответ не годятся. Поэтому такие х неприемлемы, остальные же и будут составлять ОДЗ.
Воспользуемся опять тем же уравнением:
log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)
log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)
Как видим, деления на 0 нет, квадратных корней также нет, но есть выражения с х в теле логарифма. Тут же вспоминаем, что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0. Это условие и записываем в виде ОДЗ:
Т.е. мы еще ничего не решали, но уже записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Фигурная скобка означает, что эти условия должны выполняться одновременно.
ОДЗ записано, но необходимо еще и решить полученную систему неравенств, чем и займемся. Получаем ответ х > v3. Теперь точно известно – какие х нам не подойдут. А дальше уже приступаем к решению самого логарифмического уравнения, что мы и сделали выше.
Получив ответы х 1 = 3 и х 2 = -1, легко увидеть, что нам подходит лишь х1= 3, его и записываем, как окончательный ответ.
На будущее очень важно запомнить следующее: решение любого логарифмического уравнения делаем в 2 этапа. Первый - решаем само уравнение, второй – решаем условие ОДЗ. Оба этапа выполняются независимо друг от друга и только лишь при написании ответа сопоставляются, т.е. отбрасываем все лишнее и записываем правильный ответ.
Для закрепления материала настоятельно рекомендуем посмотреть видео:
На видео другие примеры решения лог. уравнений и отработка метода интервалов на практике.
На это по вопросу, как решать логарифмические уравнения , пока всё. Если что то по решению лог. уравнений осталось не ясным или непонятным, пишите свои вопросы в комментариях.
Заметка: Академия социального образования (КСЮИ) - готова принять новых учащихся.
Введение
Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
Логарифмические уравнения и неравенства
1. Логарифмические уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
log a x = b . (1)
Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a b .
Пример 1. Решить уравнения:
a) log 2 x = 3, b) log 3 x = -1, c)
Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2 3 или x = 8; b) x = 3 -1 или x = 1 / 3 ; c)
или x = 1.Приведем основные свойства логарифма.
Р1. Основное логарифмическое тождество:
где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.
Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:
log a N 1 ·N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).
Замечание. Если N 1 ·N 2 > 0, тогда свойство P2 примет вид
log a N 1 ·N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 ·N 2 > 0).
Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя
(a
> 0, a
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
Замечание. Если
, (что равносильно N 1 N 2 > 0) тогда свойство P3 примет вид
(a
> 0, a
≠ 1, N
1
N
2
> 0).
P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:
log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).
Замечание. Если k - четное число (k = 2s ), то
log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).
P5. Формула перехода к другому основанию:
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, b
≠ 1, N
> 0),
в частности, если N = b , получим
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (3)
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (4)
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (5)
и, если в (5) c - четное число (c = 2n ), имеет место
(b
> 0, a
≠ 0, |a
| ≠ 1). (6)
Перечислим и основные свойства логарифмической функции f (x ) = log a x :
1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 < log a x 2), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 > log a x 2).
4. log a 1 = 0 и log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).
5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) и отрицательна при x (1;+∞).
6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.
Следующие утверждения (см., например, ) используются при решении логарифмических уравнений.