Оценив параметры a
и b
, мы получили уравнение регрессии, по которому можно оценить значения y
по заданным значениям x
. Естественно полагать, что расчетные значения зависимой переменной не будут совпадать с действительными значениями, так как линия регрессии описывает взаимосвязь лишь в среднем, в общем. Отдельные значения рассеяны вокруг нее. Таким образом, надежность получаемых по уравнению регрессии расчетных значений во многом определяется рассеянием наблюдаемых значений вокруг линии регрессии. На практике, как правило, дисперсия ошибок неизвестна и оценивается по наблюдениям одновременно с параметрами регрессии a
и b
. Вполне логично предположить, что оценка связана с суммой квадратов остатков регрессии. Величина является выборочной оценкой дисперсии возмущений , содержащихся в теоретической модели 
. Можно показать, что для модели парной регрессии
где - отклонение фактического значения зависимой переменной от ее расчетного значения.
Если 
, то для всех наблюдений фактические значения зависимой переменной совпадают с расчетными (теоретическими) значениями.
Графически это означает, что теоретическая линия регрессии (линия, построенная по функции ) проходит через все точки корреляционного поля, что возможно только при строго функциональной связи. Следовательно, результативный признак у
полностью обусловлен влиянием фактора х.
Обычно на практике имеет место некоторое рассеивание точек корреляционного поля относительно теоретической линии регрессии, т. е. отклонения эмпирических данных от теоретических . Этот разброс обусловлен как влиянием фактора х , т.е. регрессией y по х , (такую дисперсию называют объясненной, так как она объясняется уравнением регрессии),так и действием прочих причин (необъясненная вариация, случайная). Величина этих отклонений и лежит в основе расчета показателей качества уравнения.
Согласно основному положению дисперсионного анализа общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной y от среднего значения может быть разложена на две составляющие: объясненную уравнением регрессии и необъясненную:
,
где - значения y , вычисленные по уравнению .
Найдем отношение суммы квадратов отклонений, объясненной уравнением регрессии, к общей сумме квадратов:
, откуда
. (7.6)
Отношение части дисперсии, объясненной уравнением регрессии к общей дисперсии результативного признака называется коэффициентом детерминации . Значение не может превзойти единицы и это максимальное значение будет только достигнуто при , т.е. когда каждое отклонение равно нулю и поэтому все точки диаграммы рассеяния в точности лежат на прямой.
Коэффициент детерминации характеризует долю объясненной регрессией дисперсии в общей величине дисперсии зависимой переменной. Соответственно величина характеризует долю вариации (дисперсии) у, необъясненную уравнением регрессии, а значит, вызванную влиянием прочих неучтенных в модели факторов. Чем ближе к единице, тем выше качество модели.
При парной линейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату парного линейного коэффициента корреляции: .
Корень из этого коэффициента детерминации есть коэффициент (индекс) множественной корреляции, или теоретическое корреляционное отношение.
Для того чтобы узнать, действительно ли полученное при оценке регрессии значение коэффициента детерминации отражает истинную зависимость между y и x выполняют проверку значимости построенного уравнения в целом и отдельных параметров. Проверка значимости уравнения регрессии позволяет узнать, пригодно уравнение регрессии для практического использования, например, для прогноза или нет.
При этом выдвигают основную гипотезу о незначимости уравнения в целом, которая формально сводится к гипотезе о равенстве нулю параметров регрессии, или, что то же самое, о равенстве нулю коэффициента детерминации: . Альтернативная гипотеза о значимости уравнения - гипотеза о неравенстве нулю параметров регрессии или о неравенстве нулю коэффициента детерминации: .
Для проверки значимости модели регрессии используют F- критерий Фишера, вычисляемый как отношение суммы квадратов (в расчете на одну независимую переменную) к остаточной сумме квадратов (в расчете на одну степень свободы):
, (7.7)
где k – число независимых переменных.
После деления числителя и знаменателя соотношения (7.7) на общую сумму квадратов отклонений зависимой переменной, F- критерий может быть эквивалентно выражен на основе коэффициента :
.
Если нулевая гипотеза справедлива, то объясненная уравнением регрессии и необъясненная (остаточная) дисперсии не отличаются друг от друга.
Расчетное значение F- критерий сравнивается с критическим значением, которое зависит от числа независимых переменных k , и от числа степеней свободы (n-k-1) . Табличное (критическое) значение F- критерия – это максимальная величина отношений дисперсий, которое может иметь место при случайном расхождении их для заданного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Если расчетное значение F- критерий больше табличного при заданном уровне значимости, то нулевая гипотеза об отсутствии связи отклоняется и делается вывод о существенности этой связи, т.е. модель считается значимой.
Для модели парной регрессии
.
В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его коэффициентов. Для этого определяется стандартная ошибка каждого из параметров. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии параметров определяются по формулам:
, (7.8)
(7.9)
Стандартные ошибки коэффициентов регрессии или среднеквадратические отклонения, рассчитанные по формулам (7.8,7.9), как правило, приводятся в результатах расчета модели регрессии в статистических пакетах.
Опираясь на среднеквадратические ошибки коэффициентов регрессии, проверяют значимость этих коэффициентов используя обычную схему проверки статистических гипотез.
В качестве основной гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля «истинного» коэффициента регрессии. Альтернативной гипотезой при этом является гипотеза обратная, т. е. о неравенстве нулю «истинного» параметра регрессии. Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью t- статистики, имеющей t -распределение Стьюдента:
Затем расчетные значения t- статистики сравниваются с критическими значениями t- статистики, определяемыми по таблицам распределения Стьюдента. Критическое значение определяется в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы, которое равно (n-k-1), п - число наблюдений, k - число независимых переменных. В случае линейной парной регрессии число степеней свободы равно (п- 2). Критическое значение также может быть вычислено на компьютере с помощью встроенной функции СТЬЮДРАСПОБР пакета Ехсеl.
Если расчетное значение t- статистики больше критического, то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-α) «истинный» коэффициент регрессии значимо отличается от нуля, что является статистическим подтверждением существования линейной зависимости соответствующих переменных.
Если расчетное значение t- статистики меньше критического, то нет оснований отвергать основную гипотезу, т. е. «истинный» коэффициент регрессии незначимо отличается от нуля при уровне значимости α . В этом случае фактор, соответствующий этому коэффициенту должен быть исключен из модели.
Значимость коэффициента регрессии можно установить методом построения доверительного интервала. Доверительный интервал для параметров регрессии a и b определяют следующим образом:
,
,
где определяется по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости α и числа степеней свободы (п- 2) для парной регрессии.
Поскольку коэффициенты регрессии в эконометрических исследованиях имеют четкую экономическую интерпретацию, доверительные интервалы не должны содержать нуль. Истинное значение коэффициента регрессии не может одновременно содержать положительные и отрицательные величины, в том числе и нуль, иначе мы получаем противоречивые результаты при экономической интерпретации коэффициентов, чего не может быть. Таким образом, коэффициент значим, если полученный доверительный интервал не накрывает нуль.
Пример 7.4. По данным примера 7.1:
а) Построить парную линейную модель регрессии зависимости прибыли от реализации от отпускной цены с использованием программных средств обработки данных.
б) Оценить значимость уравнения регрессии в целом, используя F- критерий Фишера при α=0,05.
в) Оценить значимость коэффициентов модели регрессии, используя t -критерий Стьюдента при α=0,05 и α=0,1.
Для проведения регрессионного анализа используем стандартную офисную программу EXCEL. Построение регрессионной модели проведем с помощью инструмента РЕГРЕССИЯ настройки ПАКЕТ АНАЛИЗА (рис.7.5), запуск которого осуществляется следующим образом:
СервисАнализ данныхРЕГРЕССИЯОК.
Рис.7.5. Использование инструмента РЕГРЕССИЯ
В диалоговом окне РЕГРЕССИЯ в поле Входной интервал Y необходимо ввести адрес диапазона ячеек, содержащих зависимую переменную. В поле Входной интервал Х нужно ввести адреса одного или нескольких диапазонов, содержащих значения независимых переменных Флажок Метки в первой строке – устанавливается в активное состояние, если выделены и заголовки столбцов. На рис. 7.6. показана экранная форма вычисления модели регрессии с помощью инструмента РЕГРЕССИЯ.
Рис. 7.6. Построение модели парной регрессии с помощью
инструмента РЕГРЕССИЯ
В результате работы инструмента РЕГРЕСИЯ формируется следующий протокол регрессионного анализа (рис.7.7).
Рис. 7.7. Протокол регрессионного анализа
Уравнение зависимости прибыли от реализации от отпускной цены имеет вид:
Оценку значимости уравнения регрессии проведем используя F-
критерий Фишера. Значение F-
критерий Фишера возьмем из таблицы «Дисперсионный анализ» протокола EXCEL (рис. 7.7.). Расчетное значение F-
критерия 53,372. Табличное значение F-
критерия при уровне значимости α=0,05
и числе степеней свободы 
составляет 4,964. Так как 
, то уравнение считается значимым.
Расчетные значения t -критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии приведены в результативной таблице (рис. 7.7). Табличное значение t -критерия Стьюдента при уровне значимости α=0,05 и 10 степенях свободы составляет 2,228. Для коэффициента регрессии a , следовательно коэффициент a не значим. Для коэффициента регрессии b , следовательно, коэффициент b значим.
С помощью МНК можно получить лишь оценки параметров уравнения регрессии. Чтобы проверить, значимы ли параметры (т.е. значимо ли они отличаются от нуля в истинном уравнении регрессии) используют статистические методы проверки гипотез. В качестве основной гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля параметра регрессии или коэффициента корреляции. Альтернативной гипотезой, при этом является гипотеза обратная, т.е. о неравенстве нулю параметра или коэффициента корреляции. Для проверки гипотезы используется t- критерий Стьюдента.
Найденное по данным наблюдений значение t- критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике). Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно , n -число наблюдений.
Если фактическое значение t -критерия больше табличного (по модулю), то считают, что с вероятностью параметр регрессии (коэффициент корреляции) значимо отличается от нуля.
Если фактическое значение t -критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр регрессии (коэффициент корреляции) незначимо отличается от нуля при уровне значимости .
Фактические значения t -критерия определяются по формулам:
,
,
где 
.
Для проверки гипотезы о незначимом отличии от нуля коэффициента линейной парной корреляции используют критерий:
где r - оценка коэффициента корреляции, полученная по наблюдаемым данным.
Прогноз ожидаемого значения результативного признака Y по линейному парному уравнению регрессии.
Пусть требуется оценить прогнозное значение признака-результата для заданного значения признака-фактора . Прогнозируемое значение признака-результата с доверительной вероятностью равной принадлежит интервалу прогноза:
,
где - точечный прогноз;
t - коэффициент доверия, определяемый по таблицам распределения Стьюдента в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы ;
Средняя ошибка прогноза.
Точечный прогноз рассчитывается по линейному уравнению регрессии, как:
.
Средняя ошибка прогноза определяется по формуле:
.
Пример 1.
На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих варианту 100, требуется:
1. Построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (Х), другой - результативного . Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и коэффициента корреляции с уровнем значимости 0,05.
4. Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата Yпри прогнозном значении признака-фактора X, составляющим 105% от среднего уровня X. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.
Решение:
В качестве признака-фактора в данном случае выберем курсовую цену акций, так как от прибыльности акций зависит величина начисленных дивидендов. Таким образом, результативным будет признак дивиденды, начисленные по результатам деятельности .
Для облегчения расчетов построим расчетную таблицу, которая заполняется по ходу решения задачи. (Таблица 1)
Для наглядности зависимости Yот X представим графически. (Рисунок 2)
Таблица 1 - Расчетная таблица
1. Построим уравнение регрессии вида: .
Для этого необходимо определить параметры уравнения и .
Определим 
,
где - среднее из значений , возведенных в квадрат;
Среднее значение в квадрате.
Определим параметр а 0 :
Получим уравнение регрессии следующего вида:
Параметр показывает, сколько составили бы дивиденды, начисленные по результатам деятельности при отсутствии влияния со стороны курсовой цены акций. На основе параметра можно сделать вывод, что при изменении курсовой цены акций на 1 руб. произойдет изменение дивидендов в ту же сторону на 0,01 млн. руб.
2. Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации.
Линейный коэффициент парной корреляции определим по формуле:
,
Определим и :
Коэффициент корреляции, равный 0,708, позволяет судить о тесной связи между результативным и факторным признаками 
.
Коэффициент детерминации равен квадрату линейного коэффициента корреляции:
Коэффициент детерминации показывает, что на вариации начисленных дивидендов зависит от вариации курсовой цены акций, и на - от остальных неучтенных в модели факторов.
3. Оценим значимость параметров уравнения регрессии и линейного коэффициента корреляции по t- критерию Стьюдента. Необходимо сравнить расчетные значения t- критерия для каждого параметра и сравнить его с табличным.
Для расчета фактических значений t -критерия определим :
После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, коэффициент регрессии равен нулю, то есть b=0, и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у. Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения у на две части - «объясненную» и «необъясненную» (приложение 2).
Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака у от среднего значения у вызвана влиянием множества причин. Условно всю совокупность причин можно разделить на две группы:
- · изучаемый фактор х
- · прочие факторы
Если фактор не оказывает влияния на результат, то линия регрессии на графике параллельна оси охи у = y. Тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадает с остаточной. Если же прочие факторы не влияют на результат, то у связан с х функционально и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, совпадает с общей суммой квадратов.
Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс как обусловленный влиянием фактора х, то есть регрессией у по х, так и вызванный действием прочих величин (необъясненная вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объясненную вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное влияние на результат у. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации r 2 xy будет приближаться к единице.
Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы (df - degrees of freedom), то есть с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из n возможных [(y 1 -y), (y 2 -y),…,(y n -y)] требуется для образования данной суммы квадратов. Так, для общей суммы квадратов?(y-y) 2 требуется (n-1) независимых отклонений.
При расчете объясненной или факторной суммы квадратов?(y x -y) 2 используются теоретические (расчетные) значения результативного признака y x , найденные по линии регрессии: y x =а+b*x.
В линейной регрессии сумма квадратов отклонений, обусловленных линейной регрессией, составит: ?(y x -y) 2 =b 2 *?(x -x) 2 .
Поскольку при заданном объеме наблюдений по х и у факторная сумма квадратов при линейной регрессии зависит только от одной константы коэффициента регрессии b, то данная сумма квадратов имеет одну степень свободы. К тому же выводу придем, если рассмотрим содержательную сторону расчетного значения признака у, то есть y x . Величина y x определяется по уравнению линейной регрессии: y x =а+b*x. Параметр а можно определить как: a=y-b*x. Подставив выражение параметра а в линейную модель получим:
y x = y-b*x+b*x= y-b*(х-х).
Отсюда видно, что при заданном наборе переменных у и х расчетное значение y x является в линейной регрессии функцией только одного параметра - коэффициента регрессии. Соответственно и факторная сумма квадратов отклонений имеет число степеней свободы, равное 1.
Существует равенство между числом степеней свободы общей, факторной и остаточной суммами квадратов. Число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной регрессии составляет n-2. Число степеней свободы для общей суммы квадратов определяется числом единиц, и поскольку используется средняя вычисленная по данным выборки, то теряем одну степень свободы, то есть df общ = n-1.
Итак, имеется два равенства:
?(у-у) 2 =?(y x -у) 2 +?(у- y x) 2 ,
Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или, что то же самое, дисперсию на одну степень свободы D.
D общ =?(у-у) 2 /(n-1);
D факт =?(y x -у) 2 /1;
D ост =?(у- y x) 2 /(n-1).
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-отношения (F-критерия):
F= D факт / D ост, где
F - критерий для проверки нулевой гипотезы Н 0: D факт =D ост.
Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для Н 0 необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз.
Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различимом числе степеней свободы.
Табличное значение F-критерия - это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы.
Вычисленное значение F-отношения признается достоверным (отличным от единицы), если оно больше табличного.
В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи: F факт >F табл. Н 0 отклоняется.
Если же величина окажется меньше табличной F факт Оценку качества модели дает коэффициент детерминации. Коэффициент детерминации (R
2) -- это квадрат множественного коэффициента корреляции. Он показывает, какая доля дисперсии результативного признака объясняется влиянием независимых переменных. Формула для вычисления коэффициента детерминации: y
i
-- выборочные данные, а f
i
-- соответствующие им значения модели. Также это квадрат корреляции Пирсона между двумя переменными. Он выражает количество дисперсии, общей между двумя переменными. Коэффициент принимает значения из интервала . Чем ближе значение к 1 тем ближе модель к эмпирическим наблюдениям. В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции, то есть R
2 = r
2 . Иногда показателям тесноты связи можно дать качественную оценку (шкала Чеддока) (приложение 3). Функциональная связь возникает при значении равном 1, а отсутствие связи -- 0. При значениях показателей тесноты связи меньше 0,7 величина коэффициента детерминации всегда будет ниже 50 %. Это означает, что на долю вариации факторных признаков приходится меньшая часть по сравнению с остальными неучтенными в модели факторами, влияющими на изменение результативного показателя. Построенные при таких условиях регрессионные модели имеют низкое практическое значение. Парная регрессия
представляет собой регрессию между двумя переменными -у и х, т.е.
модель вида + Е Где у
- результативный признак,т.е зависимая переменная; х
- признак-фактор. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида или Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора х. Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров а и в. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. 1. 2. Параметр b
называется коэффициентом регрессии
. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Формально а
- значение у
при х = 0. Если признак-фактор не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена, а
не имеет смысла. Параметр, а
может не иметь экономического содержания. Попытки экономически интерпретировать параметр, а
могут привести к абсурду, особенно при а
< 0. Интерпретировать можно лишь знак при параметре а.
Если а
> 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение проверка качества найденных параметров и всей модели в целом: -Оценка значимости коэффициента регрессии (b) и коэффициента корреляции
-Оценка значимости всего уравнения регрессии. Коэффициент детерминации
Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r xy .
Существуют разные модификации формулы линейного коэффициента корреляции. Линейный коэффициент корреляции находится и границах: -1≤.r xy
≤ 1. При этом чем ближе r
к 0 тем слабее корреляция и наоборот чем ближе r к 1 или -1, тем сильнее корреляция, т.е. зависимость х и у близка к линейной. Если r
в точности =1или -1 все точки лежат на одной прямой. Если коэф. регрессии b>0 то 0 ≤.r xy
≤ 1 и наоборот при b<0 -1≤.r xy
≤0. Коэф. корреляции отражает степени линейной зависимости м/у величинами при наличии ярко выраженной зависимости др. вида. Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции Называемый коэффициентом детерминации.
Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией. Соответствующая величина характеризует долю дисперсии у,
вызванную влиянием остальных не учтенных в модели факторов. МНК позволяет
получить такие оценки параметров а
и b,
которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (у)
от расчетных (теоретических) минимальна: Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной. Решается система нормальных уравнений ОЦЕНКА СУЩЕСТВЕННОСТИ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, т. е. b =
0, и следовательно, фактор х
не оказывает влияния на результат у.
Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у
от средне го значения у
на две части - «объясненную» и «необъясненную»: Общая сумма квадратов отклонений Сумма квадратов отклонения объясненная регрессией Остаточная сумма квадратов отклонения. Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы,
т. е. с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности nис числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число cтепеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из п
возможных требуется для образования данной суммы квадратов. Дисперсия на одну степень свободы
D.
F-отношения (F-критерий): Ecли нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для Н 0 необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F-критерия - это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F-отношения признается достоверным, если о больше табличного. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи: F факт > F табл Н 0 отклоняется. Если же величина окажется меньше табличной F факт ‹,
F табл То вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня и она не может быть отклонена без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым. Н о не отклоняется. Похожая информация. Проверку
значимости уравнения регрессии произведем
на основе F-критерия
Фишера: Значение
F-критерия Фишера можно найти в таблице
Дисперсионный анализ протокола Еxcel.
Табличное значение F-критерия при
доверительной вероятности α = 0,95 и числе
степеней свободы, равном v1
= k = 2 и v2
= n – k – 1= 50 – 2 – 1 = 47, составляет 0,051. Поскольку
Fрасч > Fтабл, уравнение регрессии
следует признать значимым, то есть его
можно использовать для анализа и
прогнозирования. Оценку
значимости коэффициентов полученной
модели, используя результаты отчета
Excel, можно осуществить тремя способами. Коэффициент
уравнения регрессии признается значимым
в том случае, если: 1)
наблюдаемое значение t-статистики
Стьюдента для этого коэффициента больше,
чем критическое (табличное) значение
статистики Стьюдента (для заданного
уровня значимости, например α = 0,05, и
числа степеней свободы df = n – k – 1, где
n – число наблюдений, а k – число факторов
в модели); 2)
Р-значение t-статистики Стьюдента для
этого коэффициента меньше, чем уровень
значимости, например, α = 0,05; 3)
доверительный интервал для этого
коэффициента, вычисленный с некоторой
доверительной вероятностью (например,
95%), не содержит ноль внутри себя, то есть
нижняя 95% и верхняя 95% границы доверительного
интервала имеют одинаковые знаки. Значимость
коэффициентов a
1
и a
2
проверим по второму и третьему способам: P-значение
(a
1
)
= 0,00 < 0,01 < 0,05. Р-значение
(a
2
)
= 0,00 < 0,01 < 0,05. Следовательно,
коэффициенты a
1
и
a
2
значимы при 1%-ном уровне, а тем более
при 5%-ном уровне значимости. Нижние и
верхние 95% границы доверительного
интервала имеют одинаковые знаки,
следовательно, коэффициенты a
1
и a
2
значимы. При
проверке предпосылки МНК о гомоскедастичности
остатков в модели множественной регрессии
следует вначале определить, по отношению
к какому из факторов дисперсия остатков
более всего нарушена. Это можно сделать
в результате визуального исследования
графиков остатков, построенных по
каждому из факторов, включенных в модель.
Та из объясняющих переменных, от которой
больше зависит дисперсия случайных
возмущений, и будет упорядочена по
возрастанию фактических значений при
проверке теста Гольдфельда–Квандта.
Графики легко получить в отчете, который
формируется в результате использования
инструмента Регрессия в пакете Анализ
данных). Графики
остатков по каждому из факторов
двухфакторной модели
Из
представленных графиков видно, что
дисперсия остатков более всего нарушена
по отношению к фактору Краткосрочная
дебиторская задолженность. Проверим
наличие гомоскедастичности в остатках
двухфакторной модели на основе теста
Гольдфельда–Квандта. Упорядочим
переменные Y и X2 по возрастанию фактора
Х4 (в Excel для этого можно использовать
команду Данные – Сортировка по
возрастанию Х4): Данные,
отсортированные по возрастанию X4:
Уберем
из середины упорядоченной совокупности
С = 1/4 · n = 1/4 · 50 = 12,5 (12) значения. В
результате получим две совокупности
соответственно с малыми и большими
значениями Х4. Для
каждой совокупности выполним расчеты: Сумма
111234876536,511
966570797682,068 455748832843,413 232578961097,877 834043911651,192 193722998259,505 1246409153509,290 31419681912489,100 2172804245053,280 768665257272,099 2732445494273,330 163253156450,331 18379855056009,900 10336693841766,000 Сумма
69977593738424,600
Уравнения
для совокупностей Y
= -27275,746 + 0,126X2 + 1,817 X4
Y
= 61439,511 + 0,228X2 + 0,140X4
Результаты
данной таблицы получены с помощью
инструмента Регрессия поочередно к
каждой из полученных совокупностей. 4.
Найдем отношение полученных остаточных
сумм квадратов (в
числителе должна быть большая сумма): 5.
Вывод о наличии гомоскедастичности
остатков делаем с помощью F-критерия
Фишера с уровнем значимости α = 0,05 и
двумя одинаковыми степенями свободы
k1
= k2
=
== 17 где
р – число параметров уравнения регрессии: Fтабл
(0,05; 17; 17) = 9,28. Так
как Fтабл
> R
,то подтверждается гомоскедастичность
в остатках двухфакторной регрессии.
Определение объясняющей переменной, от которой
Может зависеть дисперсия случайных возмущений.
Проверка выполнения условия гомоскедастичности
Остатков по тесту Гольдфельда–Квандта
