Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.
Формулы площади треугольника
- Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты - Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
- Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
где S - площадь треугольника,
- длины сторон треугольника,
- высота треугольника,
- угол между сторонами и,
- радиус вписанной окружности,
R - радиус описанной окружности,
Формулы площади квадрата
- Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. - Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.S = 1 2 2
где S - Площадь квадрата,
- длина стороны квадрата,
- длина диагонали квадрата.
Формула площади прямоугольника
- Площадь прямоугольника
равна произведению длин двух его смежных сторон
где S - Площадь прямоугольника,
- длины сторон прямоугольника.
Формулы площади параллелограмма
- Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма - Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.a · b · sin α
где S - Площадь параллелограмма,
- длины сторон параллелограмма,
- длина высоты параллелограмма,
- угол между сторонами параллелограмма.
Формулы площади ромба
- Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты. - Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба. - Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
где S - Площадь ромба,
- длина стороны ромба,
- длина высоты ромба,
- угол между сторонами ромба,
1 , 2 - длины диагоналей.
Формулы площади трапеции
- Формула Герона для трапеции
Где S - Площадь трапеции,
- длины основ трапеции,
- длины боковых сторон трапеции,
Знания о том, как измерить Землю, появились еще в древности и постепенно оформились в науку геометрию. С греческого языка это слово так и переводится - «землемерие».
Мерой протяжённости плоского участка Земли по длине и ширине является площадь. В математике она обычно обозначается латинской буквой S (от англ. «square» - «площадь», «квадрат») или греческой буквой σ (сигма). S обозначает площадь фигуры на плоскости или площадь поверхности тела, а σ – площадь поперечного сечения провода в физике. Это основные символы, хотя могут быть и другие, например, в сфере сопротивления материалов, А - площадь сечения профиля.
Формулы расчета
Зная площади простых фигур, можно находить параметры более сложных
. Античными математиками были выведены формулы, по которым можно легко их вычислять. Такими фигурами являются треугольник, четырёхугольник, многоугольник, круг.
Чтобы найти площадь сложной плоской фигуры, её разбивают на множество простых фигур, таких как треугольники, трапеции или прямоугольники. Затем математическими методами выводят формулу для площади этой фигуры. Подобный метод используют не только в геометрии, но и в математическом анализе для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми .
Треугольник
Начнём с самой простой фигуры - треугольника. Они бывают прямоугольные, равнобедренные и равносторонние. Возьмём любой треугольник ABC со сторонами AB=a, BC=b и AC=c (∆ ABC). Чтобы найти его площадь, вспомним известные из школьного курса математики теоремы синусов и косинусов. Отпуская все выкладки, придём к следующим формулам:
- S=√ - известная всем формула Герона, где p=(a+b+c)/2 - полупериметр треугольника;
- S=a h/2, где h - высота, опущенная на сторону a;
- S=a b (sin γ)/2, где γ - угол между сторонами a и b;
- S=a b/2, если ∆ ABC - прямоугольный (здесь a и b - катеты);
- S=b² (sin (2 β))/2, если ∆ ABC - равнобедренный (здесь b - одно из «бёдер», β - угол между «бёдрами» треугольника);
- S=a² √¾, если ∆ ABC - равносторонний (здесь a - сторона треугольника).
Четырёхугольник
Пусть имеется четырёхугольник ABCD, у которого AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Чтобы найти площадь S произвольного 4-угольника, нужно разделить его диагональю на два треугольника, площади которых S1 и S2 в общем случае не равны.
Затем по формулам вычислить их и сложить, т. е. S=S1+S2. Однако, если 4-угольник принадлежит к определённому классу, то его площадь можно найти по заранее известным формулам:
- S=(a+c) h/2=e h, если 4-угольник - трапеция (здесь a и c - основания, e - средняя линия трапеции, h - высота, опущенная на одно из оснований трапеции;
- S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, если ABCD - параллелограмм (здесь φ - угол между сторонами a и b, h - высота, опущенная на сторону a, d1 и d2 - диагонали);
- S=a b=d²/2, если ABCD - прямоугольник (d - диагональ);
- S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, если ABCD - ромб (a - сторона ромба, φ - один из его углов, P - периметр);
- S=a²=P²/16=d²/2, если ABCD - квадрат.
Многоугольник
Чтобы найти площадь n-угольника, математики разбивают его на простейшие равные фигуры -треугольники, находят площадь каждого из них и затем складывают. Но если многоугольник относится к классу правильных, то используют формулу:
S=a n h/2=a² n/=P²/, где n - количество вершин (или сторон) многоугольника, a - сторона n-угольника, P - его периметр, h - апофема, т. е. отрезок, проведённый из центра многоугольника к одной из его сторон под углом 90°.
Круг
Круг - это совершенный многоугольник, имеющий бесконечное число сторон
. Нам необходимо вычислить предел выражения справа в формуле площади многоугольника при числе сторон n, стремящемуся к бесконечности. В этом случае периметр многоугольника превратится в длину окружности радиуса R, которая будет границей нашего круга, и станет равен P=2 π R. Подставим это выражение в указанную выше формулу. Мы получим:
S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
Найдём предел этого выражения при n→∞. Чтобы это сделать, учтём, что lim (cos (180°/n)) при n→∞ равен cos 0°=1 (lim - знак предела), а lim = lim при n→∞ равен 1/π (мы перевели градусную меру в радианную, используя соотношение π рад=180°, и применили первый замечательный предел lim (sin x)/x=1 при x→∞). Подставив в последнее выражение для S полученные значения, придём к известной формуле:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
Единицы измерения
Применяются системные и внесистемные единицы измерения
. Системные единицы относятся к СИ (Система Интернациональная). Это квадратный метр (кв. метр, м²) и единицы, производные от него: мм², см², км².
В квадратных миллиметрах (мм²), например, измеряют площадь сечения проводов в электротехнике, в квадратных сантиметрах (см²) - сечения балки в строительной механике, в квадратных метрах (м²) - квартиры или дома, в квадратных километрах (км²) - территории в географии.
Однако иногда используются и внесистемные единицы измерения, такие, как: сотка, ар (а), гектар (га) и акр (ас). Приведём следующие соотношения:
- 1 сотка=1 а=100 м²=0,01 га;
- 1 га=100 а=100 соток=10000 м²=0,01 км²=2,471 ас;
- 1 ас= 4046.856 м²=40,47 а=40,47 соток=0,405 га.
Данный онлайн калькулятор помогает произвести расчет, определение и вычисление площади земельного участка в онлайн режиме. Представленная программа способна правильно подсказать, как выполнить расчет площади земельных участков неправильной формы.
Важно! Важ участок должен приблизительно вписываться в окружность. Иначе расчеты будут не совсем точными.
Указываем все данные в метрах
A B, D A, C D, B C — Размер каждой стороны делянки.
Согласно введен данным, наша программа в онлайн режиме выполнить расчет и определить, площадь земельных угодий в квадратных метрах, сотках, акрах и гектарах.
Методика определения размеров участка ручным методом
Чтобы правильно выполнить расчет площади делянок, не нужно использовать сложные инструменты. Мы берем деревянные колышки или металлические прутья и устанавливаем их в углах нашего участка. Далее при помощи измерительной рулетки определяем ширину и длину делянки. Как правило, достаточно выполнить замер одной ширины и одной длины, для прямоугольных или равносторонних участков. Для примера, у нас получились следующие данные: ширина – 20 метров и длина – 40 метров.
Далее переходим к расчету площади делянки. При правильной форме участка, можно использовать геометрическую формулу определения площади (S) прямоугольника. Согласно этой формуле, нужно выполнить умножение ширины (20) на длину (40) , то есть произведение длин двух сторон. В нашем случае S=800 м².
После того, как мы определили нашу площадь, мы можем определить количество соток на земельном участке. Согласно общепринятым данным, в одной сотке – 100 м². Далее при помощи простой арифметики, мы разделим наш параметр S на 100. Готовый результат и станет равен размеру делянки в сотках. Для нашего примера, этот результат – 8. Таким образом, получаем, что площадь участка составляет восемь соток.
В том случае, когда территория угодий очень большая, то лучше всего выполнять все измерения в других единицах – в гектарах. Согласно общепринятым единицам измерения – 1 Га = 100 соток. К примеру, если наша земельная делянка согласно полученным измерениям составляем 10 000 м², то в этом случае его площадь равна 1 гектару или 100 соткам.
Если Ваш участок неправильной формы, то в этом случае количество соток напрямую зависит от площади. Именно по этой причине при помощи онлайн калькулятора Вы сможете правильно рассчитать параметр S делянки, и после этого разделив полученный результат на 100. Таким образом, Вы получите расчеты в сотках. Такой метод предоставляет возможность измерять делянки сложных форм, что весьма удобно.
Общие данные
Расчет площади земельных участков базируется на классических расчетах, которые выполняются согласно общепринятым геодезическим формулам.
Всего доступно несколько методов для расчета площади земельных угодий – механический (рассчитывается по плану при помощи мерных палеток), графический (определяется по проекту) и аналитический (при помощи формулы площади по измеренным линиям границ).
На сегодняшний день самым точным способом заслуженно считается – аналитический. Используя данный метод, ошибки при расчетах, как правило, появляются из-за погрешностей на местности измеренных линий. Данный способ является также и достаточно сложным, если границы криволинейные или количество углом на делянке больше десяти.
Немного проще по расчетам является графическим способ. Его лучше всего использовать в том случае, когда границы участка представлены в виде ломанной линии, с небольшим количеством поворотов.
И самый доступный и простой способ, и наиболее популярный, но и в тоже время самой большой погрешностью – механический способ. Используя данный метод, Вы сможете легко и быстро выполнить расчет площади земельных угодий простой или сложной формы.
Среди серьезных недостатков механического или графического способа, выделяют следующее, кроме погрешностей при измерении участка, при расчетах добавляется погрешность из-за деформации бумаги или погрешность при составлении планов.
Периодически нам требуется знать площадь и объем комнаты. Эти данные могут понадобиться при проектировании отопления и вентиляции, при закупке стройматериалов и еще во многих других ситуациях. Также периодически требуется знать площадь стен. Все эти данные вычисляются легко, но предварительно придется поработать рулеткой — измерять все требуемые габариты. О том, как посчитать площадь комнаты и стен, объем помещения и пойдет речь дальше.
Площадь комнаты в квадратных метрах
- Рулетка. Лучше — с фиксатором, но подойдет и обычная.
- Бумага и карандаш или ручка.
- Калькулятор (или считайте в столбик или в уме).
Набор инструментов нехитрый, найдется в каждом хозяйстве. Проще измерения проводить с помощником, но можно справиться и самостоятельно.
Для начала надо измерить длину стен. Делать это желательно вдоль стен, но если все они заставлены тяжелой мебелью, можно проводить измерения и посередине. Только в этом случае следите чтобы лента рулетки лежала вдоль стен, а не наискосок — погрешность измерений будет меньше.
Прямоугольная комната
Если помещение правильной формы, без выступающих частей, вычислить площадь комнаты просто. Измеряете длину и ширину, записываете на бумажке. Цифры пишите в метрах, после запятой ставите сантиметры. Например, длина 4,35 м (430 см), ширина 3,25 м (325 см).
Найденные цифры перемножаем, получаем площадь комнаты в квадратных метрах. Если обратимся к нашему примеру, то получится следующее: 4,35 м * 3,25 м = 14,1375 кв. м. В данной величине оставляют обычно две цифры после запятой, значит округляем. Итого, рассчитанная квадратура комнаты 14,14 квадратных метров.
Помещение неправильной формы
Если надо высчитать площадь комнаты неправильной формы, ее разбивают на простые фигуры — квадраты, прямоугольники, треугольники. Потом измеряют все нужные размеры, производят расчеты по известным формулам (есть в таблице чуть ниже).
Один из примеров — на фото. Так как и то, и другое — прямоугольник, площадь считается по той же формуле: длину умножаем на ширину. Найденную цифру надо отнять или прибавить к размеру помещения — в зависимости от конфигурации.
Площадь комнаты сложной формы
- Считаем квадратуру без выступа: 3,6 м * 8,5 м = 30,6 кв. м.
- Считаем габариты выступающей части: 3,25 м * 0,8 м = 2,6 кв. м.
- Складываем две величины: 30,6 кв. м. + 2,6 кв. м. = 33,2 кв. м.
Еще бывают помещения со скошенными стенами. В этом случае разбиваем ее так, чтобы получились прямоугольники и треугольник (как на рисунке ниже). Как видите, для данного случая требуется иметь пять размеров. Разбить можно было по-другому, поставив вертикальную, а не горизонтальную черту. Это не важно. Просто требуется набор простых фигур, а способ их выделения произвольный.
В этом случае порядок вычислений такой:
- Считаем большую прямоугольную часть: 6,4 м * 1,4 м = 8,96 кв. м. Если округлить, получим 9, 0 кв.м.
- Высчитываем малый прямоугольник: 2,7 м * 1,9 м = 5,13 кв. м. Округляем, получаем 5,1 кв. м.
- Считаем площадь треугольника. Так как он с прямым углом, то равен половине площади прямоугольника с такими же размерами. (1,3 м * 1,9 м) / 2 = 1,235 кв. м. После округления получаем 1,2 кв. м.
- Теперь все складываем чтобы найти общую площадь комнаты: 9,0 + 5,1 + 1,2 = 15,3 кв. м.
Планировка помещений может быть очень разнообразной, но общий принцип вы поняли: делим на простые фигуры, измеряем все требуемые размеры, высчитываем квадратуру каждого фрагмента, потом все складываем.
Еще одно важное замечание: площадь комнаты, пола и потолка — это все одинаковые величины. Отличия могут быть если есть какие-то полу-колоны, не доходящие до потолка. Тогда из общей квадратуры вычитается квадратура этих элементов. В результате получаем площадь пола.
Как рассчитать квадратуру стен
Определение площади стен часто требуется при закупке отделочных материалов — обоев, штукатурки и т.п. Для этого расчета нужны дополнительные измерения. К имеющимся уже ширине и длине комнаты нужны будут:
- высота потолков;
- высота и ширина дверных проемов;
- высота и ширина оконных проемов.
Все измерения — в метрах, так как квадратуру стен тоже принято измерять в квадратных метрах.
Так как стены прямоугольные, то и площадь считается как для прямоугольника: длину умножаем на ширину. Таким же образом вычисляем размеры окон и дверных проемов, их габариты вычитаем. Для примера рассчитаем площадь стен, изображенных на схеме выше.
- Стена с дверью:
- 2,5 м * 5,6 м = 14 кв. м. — общая площадь длинной стены
- сколько занимает дверной проем: 2,1 м *0,9 м = 1,89 кв.м.
- стена без учета дверного проема — 14 кв.м — 1,89 кв. м = 12,11 кв. м
- Стена с окном:
- квадратура маленьких стен: 2,5 м * 3,2 м = 8 кв.м.
- сколько занимает окно: 1,3 м * 1,42 м = 1,846 кв. м, округляем, получаем 1,75 кв.м.
- стена без оконного проема: 8 кв. м — 1,75 кв.м = 6,25 кв.м.
Найти общую площадь стен не составит труда. Складываем все четыре цифры: 14 кв.м + 12,11 кв.м. + 8 кв.м + 6,25 кв.м. = 40,36 кв. м.
Объем комнаты
Для некоторых расчетов требуется объем комнаты. В этом случае перемножаются три величины: ширина, длинна и высота помещения. Измеряется данная величина в кубических метрах (кубометрах), называется еще кубатурой. Для примера используем данные из предыдущего пункта:
- длинна — 5,6 м;
- ширина — 3,2 м;
- высота — 2,5 м.
Если все перемножить, получаем: 5,6 м * 3,2 м * 2,5 м = 44,8 м 3 . Итак, объем помещения 44,8 куба.
Площадь прямоугольника, как не будет дерзко звучать, но это важное понятие. В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с ним. Узнать размер полей, огородов, рассчитать количество краски, необходимой для побелки потолка, сколько понадобится обоев для оклейки ко
мнаты и другое.
Геометрическая фигура
Для начала поговорим о прямоугольнике. Это фигура на плоскости, которая имеет четыре прямых угла, а ее противоположные стороны равны. Стороны его привыкли называть длиной и шириной. Измеряют их в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т. д. Теперь ответим на вопрос: «Как найти площадь прямоугольника?» Для этого необходимо длину умножить на ширину.
Площадь=длина*ширина
Но еще одна оговорка: длина и ширина должны быть выражены в одинаковых единицах измерения, то есть метр и метр, а не метр и сантиметр. Записывается площадь латинской буквой S. Для удобства обозначим длину латинской буквой b, а ширину латинской буквой a, как показано на рисунке. Отсюда мы делаем вывод, что единицей измерения площади является мм 2 , см 2 , м 2 и т. д.
Рассмотрим на конкретном примере, как найти площадь прямоугольника. Длина b=10 ед. Ширина a=6 ед. Решение: S=a*b, S=10 ед.*6 ед., S=60 ед 2 . Задача. Как узнать площадь прямоугольника, если длина в 2 раза больше ширины и составляет 18 м? Решение: если b=18 м, тогда а=b/2, a=9 м. Как найти площадь прямоугольника, если известны обе стороны? Правильно, подставить в формулу. S=a*b, S=18*9, S=162 м 2 . Ответ: 162 м 2 . Задача. Сколько необходимо купить рулонов обоев для комнаты, если ее размеры составляют: длина 5,5 м ширина 3,5, а высота 3 м? Размеры рулона обоев: длина 10 м, ширина 50 см. Решение: сделаем рисунок комнаты.
Площади противоположных сторон равны. Вычислим площадь стены с размерами 5,5 м и 3 м. S стены 1 =5,5*3,
S стены 1 =16,5 м 2 . Следовательно, противоположная стена имеет площадь равную 16,5 м 2 . Найдем площади следующих двух стен. Стороны их, соответственно, равны 3,5 м и 3 м. S стены 2 =3,5*3, S стены 2 =10,5 м 2 . Значит, и противоположная сторона равна 10,5 м 2 . Сложим все результаты. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 м 2 . Как вычислить площадь прямоугольника, если стороны выражены в разных единицах измерения. Ранее мы вычисляли площади в м 2 , то и в этом случае будем использовать метры. Тогда ширина рулона обоев будет равна 0,5 м. S рулона =10*0,5, S рулона =5 м 2 . Теперь узнаем, сколько рулонов необходимо для оклейки комнаты. 54:5=10,8 (рулонов). Так как они измеряются целыми числами, то нужно купить 11 рулонов обоев. Ответ: 11 рулонов обоев. Задача. Как вычислить площадь прямоугольника, если известно, что ширина на 3 см короче длины, а сумма сторон прямоугольника составляет 14 см? Решение: пусть длина х см, тогда ширина (х-3) см. х+(х-3)+х+(х-3)=14, 4х-6=14, 4х=20, х=5 см - длина прямоугольника, 5-3=2 см - ширина прямоугольника, S=5*2, S=10 см 2 Ответ: 10 см 2 .
Резюме
Рассмотрев примеры, надеюсь, стало понятно, как найти площадь прямоугольника. Напомню, что единицы измерения длины и ширины должны совпадать, иначе получится неправильный результат, чтобы не допустить ошибок, читайте задание внимательно. Иногда сторона может быть выражена через другую сторону, не стоит бояться. Обратитесь к нашим решенным задачам, вполне возможно, они могут помочь. Но хоть раз в жизни мы сталкиваемся с нахождением площади прямоугольника.