На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.
Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.
Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n /a m = a n — m
Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.
Примеры показательных уравнений:
В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.
Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0
Теперь разберем как решаются показательные уравнения?
Возьмем простое уравнение:
2 х = 2 3
Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:
2 х = 2 3
х = 3
Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.
Теперь подведем итоги нашего решения.
Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые
ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем
степени и решаем полученное новое уравнение.
Теперь прорешаем несколько примеров:
Начнем с простого.
Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.
x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2
В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.
3 3х — 9 х+8 = 0
Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:
Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .
3 3х = (3 2) х+8
Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16
3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.
3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.
Смотрим следующий пример:
2 2х+4 — 10 4 х = 2 4
В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .
4 х = (2 2) х = 2 2х
И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:
2 2х+4 = 2 2х 2 4
Добавляем в уравнение:
2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24
Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:
2 2х (2 4 — 10) = 24
Посчитаем выражение в скобках:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Все уравнение делим на 6:
Представим 4=2 2:
2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.
Решим уравнение:
9 х – 12*3 х +27= 0
Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х
Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0
Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:
Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2
Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:
t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3
Возвращаемся к переменной x .
Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х
Стало быть,
3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2
Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.
На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.
Вступайте в группу
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.
Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!
При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.
Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.
Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.
Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или . База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.
Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.
Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!
Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению . В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.
Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике « » в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.
Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств , как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.
Показательная функция
Что такое показательная функция?
Функцию вида y = a x , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией .
Основные свойства показательной функции y = a x :
График показательной функции
Графиком показательной функции является экспонента :
Графики показательных функций (экспоненты)
Решение показательных уравнений
Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:
Теорема 1. Показательное уравнение a f (x ) = a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ).
Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Пример 1. Решите уравнение:
Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:
Уравнение тогда принимает вид:
Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:
Переходя к обратной подстановке, получаем:
Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:
С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.
Ответ: x = 3.
Пример 2. Решите уравнение:
Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю).
Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:
Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.
Ответ: x = 6.
Пример 3. Решите уравнение:
Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:
Ответ: x = 0.
Пример 4. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:
Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x .
Ответ: x = 0.
Пример 5. Решите уравнение:
Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x -2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.
Ответ: x = -1.
Пример 6. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:
Ответ: x = 2.
Решение показательных неравенств
Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:
Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству того же смысла: f (x ) > g (x ). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла: f (x ) < g (x ).
Пример 7. Решите неравенство:
Решение: представим исходное неравенство в виде:
Разделим обе части этого неравенства на 3 2x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2x ) знак неравенства не изменится:
Воспользуемся подстановкой:
Тогда неравенство примет вид:
Итак, решением неравенства является промежуток:
переходя к обратной подстановке, получаем:
Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:
Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:
Итак, окончательно получаем ответ:
Пример 8. Решите неравенство:
Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:
Введем новую переменную:
С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:
Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:
Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t :
Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:
Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:
Окончательно получаем ответ:
Пример 9. Решите неравенство:
Решение:
Делим обе части неравенства на выражение:
Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:
t , находящиеся в промежутке:
Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:
Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:
Пример 10. Решите неравенство:
Решение:
Ветви параболы y = 2x +2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:
Ветви параболы y = x 2 -2x +2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:
Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2 -2x +2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.
Ответ: x = 1.
Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.
Сергей Валерьевич
P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.