Система векторов , называется линейно зависимой , если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src=">.
Если же это равенство выполняется только в том случае, когда все , то система векторов называется линейно независимой .
Теорема. Система векторов , будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее векторов является линейной комбинацией остальных.
Пример 1. Многочлен является линейной комбинацией многочленов https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Многочлены составляют линейно независимую систему, так как многочлен https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
Пример 2. Система матриц , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> является линейно независимой, так как линейная комбинация равна нулевой матрице только в том случае, когда https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image022_26.gif" width="40" height="21"> линейно зависимой.
Решение.
Составим линейную комбинацию данных векторов https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height="22">.
Приравнивая одноименные координаты равных векторов, получаем https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">
Окончательно получим
и
Система имеет единственное тривиальное решение, поэтому линейная комбинация данных векторов равна нулю только в случае, когда все коэффициенты равны нулю. Поэтому данная система векторов линейно независима.
Пример 4. Векторы линейно независимы. Какими будут системы векторов
a). ;
b). ?
Решение.
a). Составим линейную комбинацию и приравняем её к нулю
Используя свойства операций с векторами в линейном пространстве, перепишем последнее равенство в виде
Так как векторы линейно независимы, то коэффициенты при должны быть равны нулю, т. е..gif" width="12" height="23 src=">
Полученная система уравнений имеет единственное тривиальное решение .
Так как равенство (*) выполняется только при https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – линейно независимы;
b). Составим равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src=">(**)
Применяя аналогичные рассуждения, получим
Решая систему уравнений методом Гаусса, получим
или
Последняя система имеет бесконечное множество решений https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Таким образом, существует, ненулевой набор коэффициентов, для которого выполняется равенство (**) . Следовательно, система векторов – линейно зависима.
Пример 5 Система векторов линейно независима, а система векторов линейно зависима..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24">(***)
В равенстве (***) . Действительно, при система была бы линейно зависимой.
Из соотношения (***) получаем или Обозначим .
Получим
Задачи для самостоятельного решения (в аудитории)
1. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
2. Система, состоящая из одного вектора а , линейно зависима тогда и только тогда, когда, а=0 .
3. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда, векторы пропорциональны (т. е. один из них получается из другого умножением на число).
4. Если к линейно зависимой системе добавить вектор, то получится линейно зависимая система.
5. Если из линейно независимой системы удалить вектор, то полученная система векторов линейна независима.
6. Если система S линейно независима, но становится линейно зависимой при добавлении вектора b , то вектор b линейно выражается через векторы системы S .
c). Система матриц , , в пространстве матриц второго порядка.
10. Пусть система векторов a, b, c векторного пространства линейно независима. Докажите линейную независимость следующих систем векторов:
a). a+ b, b, c.
b). a+ https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– произвольное число
c). a+ b, a+c, b+c.
11. Пусть a, b, c – три вектора на плоскости, из которых можно сложить треугольник. Будут ли эти векторы линейно зависимы?
12. Даны два вектора a1=(1, 2, 3, 4), a2=(0, 0, 0, 1) . Подобрать ещё два четырёхмерных вектора a3 и a4 так, чтобы система a1, a2, a3, a4 была линейно независимой.
a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.
Р е ш е н и е. Ищем общее решение системы уравнений
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ
методом Гаусса. Для этого запишем эту однородную систему по координатам:
Матрица системы
Разрешенная система имеет вид: (r A = 2, n = 3). Система совместна и неопределена. Ее общее решение (x 2 – свободная переменная): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Наличие ненулевого частного решения, например, , говорит о том, векторы a 1 , a 2 , a 3 линейно зависимы.
Пример 2.
Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:
1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.
Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную систему уравнений a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ
или в развернутом виде (по координатам)
Система однородна. Если она невырождена, то она имеет единственное решение. В случае однородной системы – нулевое (тривиальное) решение. Значит, в этом случае система векторов независима. Если же система вырождена, то она имеет ненулевые решения и, следовательно, она зависима.
Проверяем систему на вырожденность:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
Система невырождена и, т.о., векторы a 1 , a 2 , a 3 линейно независимы.
Задания. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:
1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.
2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.
3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.
4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.
5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.
6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.
7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.
8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.
9. Доказать, что система векторов будет линейно зависимой, если она содержит:
а) два равных вектора;
б) два пропорциональных вектора.
В данной статье мы расскажем:
- что такое коллинеарные векторы;
- какие существуют условия коллинеарности векторов;
- какие существуют свойства коллинеарных векторов;
- что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.
Коллинеарные векторы - это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.
Пример 1
Условия коллинеарности векторов
Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:
- условие 1 . Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
- условие 2 . Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:
a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2
- условие 3 . Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:
a ∥ b ⇔ a , b = 0
Замечание 1
Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.
Замечание 2
Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.
Примеры задач на исследование коллинеарности векторов
Пример 1Исследуем векторы а = (1 ; 3) и b = (2 ; 1) на коллинеарность.
Как решить?
В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:
Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.
Ответ : a | | b
Пример 2
Какое значение m вектора a = (1 ; 2) и b = (- 1 ; m) необходимо для коллинеарности векторов?
Как решить?
Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:
Отсюда видно, что m = - 2 .
Ответ: m = - 2 .
Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов
ТеоремаСистема векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.
Доказательство
Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:
a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0
в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.
Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .
Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:
a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0
Обозначим:
A k - 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n
В таком случае:
β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0
или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n
Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).
Достаточность
Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:
e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n
Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:
0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n
Поскольку коэффициент вектора e k равен - 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).
Следствие:
- Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
- Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.
Свойства линейно зависимых векторов
- Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора - коллинеарны. Два коллинеарных вектора - линейно зависимы.
- Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора - компланарны. (3 компланарных вектора - линейно зависимы).
- Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.
Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов
Пример 3Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.
Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.
Пример 4
Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 на линейную независимость.
Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0
Записываем векторное уравнение в виде линейного:
x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0
Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:
1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~
Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей - 1-ю:
~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~
Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:
~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0
Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter