Например, регистрируется количество дорожных происшествий за неделю на определенном участке дороги. Это число представляет собой случайную величину, которая может принимать значения: (верхнего предела нет). Число дорожных происшествий может быть каким угодно большим. Если рассмотреть какой-либо короткий временной промежуток в течение недели, скажем минуту, то происшествие либо произойдет на его протяжении, либо нет. Вероятность дорожного происшествия в течение отдельно взятой минуты очень мала, и примерно такая же она для всех минут.
Распределение вероятностей числа происшествий описывается формулой:
где m - среднее количество происшествий за неделю на определенном участке дороги; е - константа, равная 2,718...
Характерные особенности данных, для которых наилучшим образом подходит распределение Пуассона, следующие:
1. Каждый малый интервал времени может рассматриваться как опыт, результатом которого является одно из двух: либо происшествие (“успех”), либо его отсутствие (“неудача”). Интервалы столь малы, что может быть только один “успех” в одном интервале, вероятность которого мала и неизменна.
2. Число “успехов" в одном большом интервале не зависит от их числа в другом, т.е. “успехи” беспорядочно разбросаны по временным промежуткам.
3. Среднее число “успехов” постоянно на протяжении всего времени. Распределение вероятностей Пуассона может быть использовано не только при работе со случайными величинами на временных интервалах, но и при учете дефектов дорожного покрытия на километр пути или опечаток на страницу текста. Общая формула распределения вероятностей Пуассона:
где m - среднее число “успехов” на единицу.
В таблицах распределения вероятностей Пуассона значения табулированы для определенных значений m и
Пример 2.7. В среднем на телефонной станции заказывают три телефонных разговора в течение пяти минут. Какова вероятность, что будет заказано 0, 1,2, 3, 4 или больше четырех разговоров в течение пяти минут?
Применим распределение вероятностей Пуассона, так как:
1. Существует неограниченное количество опытов, т.е. маленьких отрезков времени, когда может появиться заказ на телефонный разговор, вероятность чего мала и постоянна.
2. Считается, что спрос на телефонные разговоры беспорядочно распределен во времени.
3. Считается, что среднее число телефонных разговоров в любом -минутном отрезке времени одинаково.
В этом примере среднее число заказов равно 3 за 5 минут. Отсюда, распределение Пуассона:
При распределении вероятностей Пуассона, зная среднее число “успехов” на 5-минутном промежутке (например как в примере 2.7), для того чтобы узнать среднее число “успехов” за один час, нужно просто умножить на 12. В примере 2.7 среднее число заказов в час составит: 3 х 12 = 36. Аналогично, если требуется определить среднее число заказов в минуту:
Пример 2.8. В среднем за пять дней рабочей недели на автоматической линии происходят 3,4 неполадок. Какова вероятность двух неполадок в каждый день работы? Решение.
Можно применить распределение Пуассона:
1. Существует неограниченное количество опытов, т.е. малых промежутков времени, в течение каждого из них может произойти или не произойти неполадка на автоматической линии. Вероятность этого для каждого промежутка времени мала и постоянна.
2. Предполагается, что неполадки беспорядочно расположены во времени.
3. Предполагается, что среднее число неполадок в течение любых пяти дней постоянно.
Среднее число неполадок равно 3, 4 за пять дней. Отсюда число неполадок в день:
Следовательно,
Снова напомним
ситуацию, которая была названа схемой
Бернулли: производится
n
независимых
испытаний, в каждом из которых некоторое
событие А
может появиться с одной и той же
вероятностью р
.
Тогда для определения вероятности того,
что в этих n
испытаниях событие А
появится
ровно k
раз (такая вероятность обозначалась
P
n
(k
)
) может быть точно вычислена по формуле
Бернулли
,
гдеq
=1−
p
. Однако при большом числе испытаний n
расчеты по формуле Бернулли становятся
очень неудобными, так как приводят к
действиям с очень большими числами.
Поэтому (если помните −
это когда-то проходилось при изучении
схемы и формулы Бернулли при изучении
первой части теории вероятностей
«Случайные события») при больших n
предлагались значительно более удобные
(хотя и приближенные) формулы, которые
оказывались тем точнее, чем больше n
(формула Пуассона, локальная и интегральная
формула Муавра-Лапласа). Если в схеме
Бернулли число опытов n
велико, а вероятность р
появления события А
в каждом испытании мала, то хорошее
приближение дает упомянутая формула
Пуассона
,
где параметра
=
n
∙
p
. Эта формула и приводит к распределению
Пуассона. Дадим точные определения
Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона , если она принимает значения 0, 1, 2, ... с вероятностями р 0 , р 1 , ... , которые вычисляются по формуле
а число а является параметром распределения Пуассона. Обращаем внимание, что возможных значений с.в. Х бесконечно много − это все целые неотрицательные числа. Таким образом, д.с.в Х с распределением Пуассона имеет следующий закон распределения:
|
|
|
|
|
При вычислении математического ожидания (по их определению для д.с.в. с известным законом распределения) придется теперь считать не конечные суммы, а суммы соответствующих бесконечных рядов (так как таблица закона распределения имеет бесконечно много столбцов). Если же посчитать суммы этих рядов, то окажется, что и математическое ожидание, и дисперсия случайной величины Х с распределением Пуассона совпадает с параметром а этого распределения:
,
.
Найдем моду d
(X
)
распределенной по Пуассону случайной
величины Х
.
Применим тот же самый прием, что был
использован для вычисления моды
биномиально распределенной случайной
величины. По определению моды d
(X
)=
k
,
если вероятность
наибольшая среди всех вероятностей
р
0
, р
1
, ...
. Найдем
такое число k
(это целое
неотрицательное число). При таком k
вероятность p
k
должна быть не меньше соседних с ней
вероятностей:
p
k
−1
≤
p
k
≤
p
k
+1
. Подставив вместо каждой вероятности
соответствующую формулу, получим, что
число k
должно удовлетворять двойному неравенству:
.
Если расписать формулы для факториалов и провести простые преобразования, можно получить, что левое неравенство дает k ≤ а , а правое k ≥ а −1 . Таким образом, число k удовлетворяет двойному неравенству а −1 ≤ k ≤ а , т.е. принадлежит отрезку [а −1, а ] . Поскольку длина этого отрезка, очевидно, равна 1 , то в него может попасть либо одно, либо 2 целых числа. Если число а целое, то в отрезке [а −1, а ] имеется 2 целых числа, лежащих на концах отрезка. Если же число а не целое, то в этом отрезке есть только одно целое число.
Таким образом, если число а целое, то мода распределенной по Пуассону случайной величины Х принимает 2 соседних значения: d (X )=а−1 и d (X )=а . Если же число а не целое, то мода имеет одно значение d (X )= k , где k есть единственное целое число, удовлетворяющее неравенству а −1 ≤ k ≤ а , т.е. d (X )= [а ] .
Пример . Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0.0002 . Какова вероятность, что повредится 18 изделий? Каково среднее значение поврежденных изделий? Каково наивероятнейшее число поврежденных изделий и какова его вероятность?
На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач, где используется распределение Пуассона.
Краткая теория
Рассмотрим некоторый поток событий, в котором события наступают независимо друг от друга и с некоторой фиксированной средней интенсивностью $\lambda$ (событий в единицу времени). Тогда случайная величина $X$, равная числу событий $k$, произошедших за фиксированное время, имеет распределение Пуассона . Вероятности вычисляются по следующей формуле:
$$ P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}, k=0,1,2,... $$
Для пуассоновской случайной величины математическое ожидание и дисперсия совпадают с интенсивностью потока событий:
$$M(X)=\lambda, \quad D(X)=\lambda.$$
Распределение Пуассона играет важную роль в теории массового обслуживания . При увеличении $\lambda$ данное распределение стремится к нормальному распределению $N(\lambda, \sqrt{\lambda})$. В свою очередь, оно само является "приближенной" моделью биномиального распределения при больших $n$ и крайне малых $p$ (см. теорию про формулу Пуассона).
Примеры решенных задач
Задача 1.
Среднее число самолетов, взлетающих с полевого аэродрома за одни сутки, равно 10. Найти вероятность того, что за 6 часов взлетят:
А) три самолета,
Б) не менее двух самолетов.
Задача 2.
На автовокзале время прибытия автобусов различных рейсов объявляет дежурный. Появление информации о различных рейсах происходит случайной и независимо друг от друга. В среднем на автовокзал прибывает 5 рейсов каждые полчаса.
А) Составьте ряд распределения числа сообщений о прибытии автобусов в течение получаса.
Б) Найдите числовые характеристики этого распределения.
В) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график.
Г) Чему равна вероятность того, что в течение получаса прибудут не менее трех автобусов?
Д) Чему равна вероятность того, что в течение четверти часа не прибудет ни один автобус?
Задача 3. АТС получает в среднем за час 480 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно 3 вызова; от 2 до 5 вызовов.
Задача 4.
Случайная величина $X$ распределена по закону Пуассона с параметром $\lambda=0,8$. Необходимо:
А) выписать формулу для вычисления вероятности $P(X=m)$;
Б) найти вероятность $P(1 \le X \lt 3)$;
В) найти математическое ожидание $M(2X+5)$ и дисперсию $D(5-2X)$.
Задача 5. Среднее число ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного абонента в единицу времени, равно 8. Какова вероятность того, что для данного абонента число ошибочных соединений будет больше 4?
Задача 6. В среднем в магазин заходят 3 человека в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты в магазин зайдет не более 1 человека.
Задача 7.
Автомобиль проходит технический осмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, распределяется по закону Пуассона с параметром 0,63. Если неисправностей не обнаружено, техническое обслуживание автомобиля продолжается в среднем 2 ч. Если обнаружены одна или две неисправности, то на устранение каждой из них тратится в среднем еще полчаса. Если обнаружено больше двух неисправностей, то автомобиль становится на профилактический ремонт, где он находится в среднем 4 ч.
Определите закон распределения среднего времени $T$ обслуживания и ремонта автомобиля и его математическое ожидание $M(T)$.
$Х$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$ ($\lambda$$>$0), если эта величина принимает целые неотрицательные значения $к=0, 1, 2,\dots$ с вероятностями $рк$=$\frac{\lambda ^{:} }{:!} \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено французским математиком и физиком Симеоном Дени Пуассоном в 1837 г.)
Распределение Пуассона также называют законом редких событий, потому, что вероятности рк дают приближенное распределение числа наступлений некоторого редкого события при большом количестве независимых испытаний. В этом случае полагают $\lambda =n \cdot р$ , где $n$- число испытаний Бернулли, $р$- вероятность осуществления события в одном испытании.
Правомерность использования закона Пуассона вместо биномиального распределения при большом числе испытаний дает следующая теорема.
Теорема 1
Теорема Пуассона.
Если в схеме Бернулли n$\rightarrow$$\infty$, p$\rightarrow$0, так что $n \cdot p$$\rightarrow$$\lambda$ (конечному числу), то
$!_{n}^{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \to \frac{\lambda ^{k} }{k!} e^{-\lambda } $ при любых $k=0, 1, 2,... $
Без доказательства.
Примечание 1
Формула Пуассона становится точнее, при малениких $p$ и больших чисел $n$, причём $n \cdot p $
Математическое ожидание случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром $\lambda$:
$М(Х)$=$\sum \limits _{k=0}^{\infty }k\cdot \frac{\lambda ^{k} }{k!} e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = $$\lambda$.
Дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона параметром $\lambda$:
$D(X)$=$\lambda$ .
Применение формулы Пуассона при решении задач
Пример 1
Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна $0,002$. Найти вероятность того, что в партии из $1500$ изделий будет не более 3-х бракованных. Найти среднее число бракованных изделий.
- Пусть $А$-число бракованных изделий в партии из $1500$ изделий. Тогда искомая вероятность, это вероятность того, что $А$ $\leq$ $3$. В данной задаче мы имеем схему Бернулли с $n=1500$ и $р=0,002$. Для применения теоремы Пуассона положим $\lambda=1500 \cdot 0,002=3$. Тогда искомая вероятность
- Среднее число бракованных изделий $М(А)$=$\lambda$=3.
Пример 2
Коммутатор учреждения обслуживает $100$ абонентов. Вероятность того, что в течение $1$ минуты абонент позвонит, равна $0,01$. Найти вероятность того, что в течение $1$ минуты никто не позвонит.
Пусть $А$- число позвонивших на коммутатор в течение $1$ минуты. Тогда искомая вероятность -- это вероятность того, что $А=0$. В данной задаче применима схема Бернулли с $n=100$, $p=0,01$. Для использования теоремы Пуассона положим
$\lambda=100 \cdot 0,01=1$.
Тогда искомая вероятность
$Р = е^-1$ $\approx0,37$.
Пример 3
Завод отправил на базу $500$ изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна $0,002$. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено
- ровно три изделия;
- менее трех изделий.
Рассмотрев замечание к формуле Пуассона, поскольку вероятность $р=0,002$ повреждения изделия мала, а число изделий $n=500$ велико, и $a=n\cdot p=1
Для решения второй задачи применима формула, где $k1=0$ и $k2=2$. Имеем:
Пример 4
Учебник издан тиражом $100000$ экземпляров. Вероятность того, что один учебник сброшюрован неправильно, равна $0,0001$. Какова вероятность того, что тираж содержит $5$ бракованных книг?
По условию задачи $n = 100000$, $p = 0,0001$.
События "из $n$ книг ровно $m$ книг сброшюрованы неправильно", где $m = 0,1,2, \dots ,100000$, являются независимыми. Так как число $n$ велико, а вероятность $p$ мала, вероятность $P_n (m)$ можно вычислить по формуле Пуассона: $P_n$(m)$\approx \frac{{\lambda }^m\cdot e^{-\lambda }}{m!}$ , где $\lambda = np$.
В рассматриваемой задаче
$\lambda = 100000 \cdot 0,0001 = 10$.
Поэтому искомая вероятность $P_{100000}$(5) определяется равенством:
$P_{100000}$ (5)$\approx \frac{e^{-10}\cdot {10}^5}{5!}\approx $ ${10}^5$ $\frac{0,000045}{120}$ = $0,0375$.
Ответ: $0,0375$.
Пример 5
Завод отправил на базу $5000$ доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредиться равно $0,0002$. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия.
По условию $n=5000$; $р = 0,0002$; $k = 3$. Найдем $\lambda $:
$\lambda = n \cdot p = 5000 \cdot 0,0002 = 1$.
Искомая вероятность по формуле Пуассона равна:
Пример 6
Вероятность того, что на телефонную станцию в течение одного часа позвонит один абонент, равна 0,01. В течение часа позвонили 200 абонентов. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят 3 абонента.
Рассматрев условие задачи видим, что:
Найдем $\lambda $ для формуллы Пуассона:
\[\lambda =np=200\cdot 0,01=2.\]
Подставим значения в формулу Пуассона и получим значение:
Пример 7
На факультете насчитывается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно для 2-х студентов?
Имеем $n=500$; $p=1/365 \approx 0,0027$, $q=0,9973$. Поскольку количество испытаний велико, а вероятность выполнения очень мала и $npq=1,35 \
Как сразу стали поступать запросы: «Где Пуассон? Где задачи на формулу Пуассона?» и т.п . И поэтому я начну с частного применения распределения Пуассона – ввиду большой востребованности материала.
Задача до боли эйфории знакома:
И следующие две задачи принципиально отличаются от предыдущих:
Пример 4
Случайная величина подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием . Найти вероятность того, что данная случайная величина примет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.
Отличие состоит в том, что здесь речь идёт ИМЕННО о распределении Пуассона.
Решение
: случайная величина принимает значения 
с вероятностями:
По условию, , и тут всё просто: событие состоит в трёх несовместных исходах :
Вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.
Ответ :
Аналогичная задача на понимание:
Пример 5
Случайная величина подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием . Найти вероятность того, что данная случайная величина примет положительное значение.
Решение и ответ в конце урока.
Помимо приближения биномиального распределения (Примеры 1-3), распределение Пуассона нашло широкое применение в теории массового обслуживания для вероятностной характеристики простейшего потока событий. Постараюсь быть лаконичным:
Пусть в некоторую систему поступают заявки (телефонные звонки, приходящие клиенты и т.д.). Поток заявок называют простейшим , если он удовлетворяет условиям стационарности , отсутствия последствий и ординарности . Стационарность подразумевает то, что интенсивность заявок постоянна и не зависит от времени суток, дня недели или других временнЫх рамок. Иными словами, не бывает «часа пик» и не бывает «мёртвых часов». Отсутствие последствий означает, что вероятность появления новых заявок не зависит от «предыстории», т.е. нет такого, что «одна бабка рассказала» и другие «набежали» (или наоборот, разбежались). И, наконец, свойство ординарности характеризуется тем, что за достаточно малый промежуток времени практически невозможно появление двух или бОльшего количества заявок. «Две старушки в двери?» – нет уж, увольте.
Итак, пусть в некоторую систему поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью заявок в минуту (в час, в день или в произвольный промежуток времени). Тогда вероятность того, что за данный промежуток времени , в систему поступит ровно заявок, равна:
Пример 6
Звонки в диспетчерскую такси представляет собой простейший пуассоновский поток со средней интенсивностью 30 вызовов в час. Найти вероятность того, что: а) за 1 мин. поступит 2-3 вызова, б) в течение пяти минут будет хотя бы один звонок.
Решение
: используем формулу Пуассона:
а) Учитывая стационарность потока, вычислим среднее количество вызовов за 1 минуту:
вызова – в среднем за одну минуту.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что за 1 минуту в диспетчерскую поступит 2-3 вызова.
б) Вычислим среднее количество вызов за пять минут: