Лабораторная работа №1
Тема: Первичная обработка экспериментальных данных
3. Оценка в баллах. 1
5. Контрольные вопросы.. 2
6. Методика выполнения лабораторной работы.. 3
Цель работы
Приобретение навыков первичной обработки эмпирических данных методами математической статистики.
На основе совокупности опытных данных выполнить следующие задания:
Задание 1. Построить интервальный вариационный ряд распределения.
Задание 2. Построить гистограмму частот интервального вариационного ряда.
Задание 3. Составить эмпирическую функцию распределения и построить график.
а) моду и медиану;
б) условные начальные моменты;
в) выборочную среднюю;
г) выборочную дисперсию, исправленную дисперсию генеральной совокупности, исправленное среднее квадратичное отклонение;
д) коэффициент вариации;
е) асимметрию;
ж) эксцесс;
Задание 5. Определить границы истинных значений числовых характеристик, изучаемой случайной величины с заданной надёжностью.
Задание 6. Содержательная интерпретация результатов первичной обработки по условию задачи.
Оценка в баллах
Задания 1-5 – 6 баллов
Задание 6 – 2 балла
Защита лабораторной работы (устное собеседование по контрольным вопросам и лабораторной работе) - 2 балла
Работа сдается в письменной форме на листах формата А4 и включает:
1) Титульный лист (Приложение 1)
2) Исходные данные.
3) Представление работы по указанному образцу.
4) Результаты расчетов (выполненные вручную и/или с помощью MS Excel) в указанном порядке.
5) Выводы - содержательная интерпретация результатов первичной обработки по условию задачи.
6) Устное собеседование по работе и контрольным вопросам.
5. Контрольные вопросы
Методика выполнения лабораторной работы
Задание 1. Построить интервальный вариационный ряд распределения
Для того, чтобы статистические данные представить в виде вариационного ряда с равноотстоящими вариантами необходимо:
1.В исходной таблице данных найти наименьшее и наибольшее значения.
2.Определить размах варьирования :
3. Определить длину интервала h, если в выборке до 1000 данных, используют формулу: 
, где n – объем выборки – количество данных в выборке; для вычислений берут lgn).
Вычисленное отношение округляют до удобногоцелого значения .
4. Определить начало первого интервала для четного числа интервалов рекомендуют брать величину ; а для нечетного числа интервалов .
5. Записать интервалы группировок и расположить их в порядке возрастания границ
, 
,………., ,
где - нижняя граница первого интервала. За берется удобное число не большее , верхняя граница последнего интервала должна быть не меньше . Рекомендуется, чтобы интервалы содержали в себе исходные значения случайной величины и выделять от 5 до 20 интервалов.
6. Записать исходные данные по интервалам группировок, т.е. подсчитать по исходной таблице число значений случайной величины, попадающих в указанные интервалы. Если некоторые значения совпадают с границами интервалов, то их относят либо только к предыдущему, либо только к последующему интервалу.
Замечание 1. Интервалы необязательно брать равными по длине. На участках, где значения располагаются гуще, удобнее брать более мелкие короткие интервалы, а там где реже - более крупные.
Замечание 2 .Если для некоторых значений получены “нулевые”, либо малые значения частот , то необходимо перегруппировать данные, укрупняя интервалы (увеличивая шаг ).
Во многих случаях, кота статистическая совокупность включает большое или тем более бесконечное число вариант, что чаще всего встречается при непрерывной вариации, практически невозможно и нецелесообразно формировать группу единиц для каждой варианты. В таких случаях объединение статистических единиц в группы возможно лишь на базе интервала, т.е. такой группы, которая имеет определенные пределы значений варьирующего признака. Эти пределы обозначаются двумя числами, указывающими верхнюю и нижнюю границы каждой группы. Применение интервалов приводит к формированию интервального ряда распределения.
Интервальный рад - это вариационный ряд, варианты которого представлены в виде интервалов.
Интервальный ряд может формироваться с равными инеравными интервалами, при этом выбор принципа построения этого ряда зависит главным образом от степени представительности и удобности статистической совокупности. Если совокупность достаточно велика (представительна) по числу единиц и вполне однородна по своему составу, то в основу формирования интервального ряда целесообразно положить равенства интервалов. Обычно по этому принципу образуют интервальный ряд по тем совокупностям, где размах вариации сравнительно невелик, т.е. максимальная и минимальная варианты различаются между собой обычно в несколько раз. При этом величина равных интервалов рассчитывается отношением размаха вариации признака к заданному числу образуемых интервалов. Для определения равного и нтервала может быть ииспользована формула Стерджесса (обычно при небольшой вариации интервальных признаков и большом числе единиц в статистической совокупности):
где х i - величина равного интервала; X max, X min- максимальная и минимальная варианты в статистической совокупности; n. - число единиц в совокупности.
Пример . Целесообразно рассчитать размер равного интервала по плотности радиоактивного загрязнения цезием – 137 в 100 населенных пунктах Краснопольского района Могилевской области, если известно, что начальная (минимальная) варианта равна I км/км 2 , конечная (максимальная) - 65 ки/км 2 . Воспользовавшись формулой 5.1. получим:
Следовательно, чтобы сформировать интервальный ряд с равными интервалами по плотности загрязнения цезием - 137 населенных пунктов Краснопольского района, размер равного интервала может составить 8 ки/км 2 .
В условиях неравномерного распределения т.е. когда максимальная иминимальная варианты сотни раз, при формировании интервального ряда можно применить принцип неравных интервалов. Неравные интервалы обычно увеличиваются по мере перехода к большим значениям признака.
По форме интервалы могут быть закрытыми и открытыми. Закрытыми принято называть интервалы, у которых обозначены как нижняя, так и верхняя границы. Открытые интервалы имеют только одну границу: в первом интервале – верхняя, в последнем - нижняя граница.
Оценку интервальных рядов, особенно с неравным интервалами, целесообразно проводить с учетом плотности распределения , простейшим способом расчета которого является отношение локальной частоты (или частости) к размеру интервала.
Для практического формирования интервального ряда можно воспользоваться макетом табл. 5.3.
Т а б л и ц а 5.3. Порядок формирования интервального ряда населённых пунктов Краснопольского района по плотности радиоактивного загрязнения цезием –137
Основное преимущество интервального ряда - его предельная компактность. в то же время в интервальном ряду распределения индивидуальные варианты признака скрыты в соответствующих интервалах
При графическом изображении интервального ряда в системе прямоугольных координат на оси абсцисс откладывают верхние границы интервалов, на ос ординат - локальные частоты ряда. Графическое построение интервального ряда отличается от построения полигона распределения тем, что каждый интервал имеет нижнюю и верхнею границы, а одному какому- либо значению ординаты соответствуют две абсциссы. Поэтому на графике интервального ряда отмечается не точка, как в полигоне, а линия, соединяющая две точку. Эти горизонтальные линии соединяются друг с другом вертикальными линиями и получается фигура ступенчатого многоугольника, который принято называть гистограммой распределения (рис.5.3).
При графическом построении интервального ряда по достаточно большой статистической совокупности гистограмма приближается к симметричной форме распределения. В тех же случаях, где статистическая совокупность невелика, как правило, формируется асимметричная гистограмма.
В некоторых случаях имеется целесообразность в формировании ряда накопленных частот, т.е. кумулятивного ряда. Кумулятивный ряд можно образовать на основе дискретного либо интервального ряда распределения. При графическом изображении кумулятивного ряда в системе прямоугольных координат на оси абсцисс откладывают варианты, на оси ординат - накопленные частоты (частости). Полученную при этом кривую линию принято называть кумулятой распределения (рис.5.4).
Формирование и графическое изображение различных видов вариационных рядов способствует упрощенному расчету основных статистических характеристик, которые подробно рассматриваются в теме 6, помогает лучше понять сущность законов распределения статистической совокупности. Анализ вариационного ряда приобретает особенное значение в тех случаях, когда необходимо выявить и проследить зависимость между вариантами и частотами (частостями). Эта зависимость проявляется в том, что число случаев, приходящихся на каждую варианту, определенным образом связано с величиной этой варианты, т.е. с возрастанием значений варьирующего признака частоты (частости) этих значений испытывают определенные, систематические изменения. Это означает, что числа в столбце частот (частостей) подвержены не хаотическим колебаниям, а изменяются в определенном направлении, в определенном порядке и последовательности.
Если частоты в своих изменениях обнаруживают определенную систематичность, то это означает, что мы находимся на пути к выявлению закономерности. Система, порядок, последовательность в изменении частот - это отражение общих причин, общих условий, характерных для всей совокупности.
Не следует считать, что закономерность распределения всегда дается в готовом виде. Встречается довольно много вариационных рядов, в которых частоты причудливо скачут, то возрастая, то уменьшаясь. В таких случаях целесообразно выяснить, с каким распределением имеет дело исследователь: то ли этому распределению вовсе не присущи закономерности, то его характер еще не выявлен: Первый случай встречается редко, второй же, второй же случай - явление довольно частое и весьма распространенное.
Так, при формировании интервального ряда общее число статистических единиц может быть небольшим, и в каждый интервал попадает малое число вариант (например, 1-3 единицы). В таких случаях рассчитывать на проявление какой-либо закономерности не приходится. Для того чтобы на основе случайных наблюдений получился закономерный результат, необходимо вступление в силу закона больших чисел, т.е. чтобы на каждый интервал приходилось бы не несколько, а десятки и сотни статистических единиц. С этой целью надо стараться, по возможности увеличивать число наблюдений. Это самый верный способ обнаружения закономерности в массовых процессах. Если же не представляется реальная возможность увеличить число наблюдений, то выявление закономерности может быть достигнуто уменьшением числа интервалов в ряду распределения. Уменьшая число интервалов в вариационном ряду, тем самым увеличивается численность частот в каждом интервале. Это означает, что случайные колебания каждой статистической единицы накладываются друг на друга, "сглаживается", превращаясь в закономерность.
Формирование и построение вариационных рядов позволяет получить лишь общую, приближенную картину распределения статистической совокупности. Например, гистограмма лишь в грубой форме выражает зависимость между значениями признака и его частотами (частостями) Поэтому вариационные ряды по существу являются лишь основой для дальнейшего, углубленного изучения внутренней закономерности статического распределения.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ТЕМЕ 5
1. Что представляет собой вариация? Чем вызывается вариация признака в статистической совокупности?
2. Какие виды варьирующих признаков могут иметь место в статистике?
3. Что такое вариационный ряд? Какие могут быть виды вариационных рядов?
4. Что представляет собой ранжированный ряд? Какие его преимущества и недостатки?
5. Что такое дискретный ряд и какие его преимущества и недостатки?
6. Каков порядок формирования интервального ряда, какие его преимущества и недостатки?
7. Что представляет собой графическое изображение ранжированного, дискретного, интервального рядов распределения?
8. Что такое кумулята распределения и что она характеризует?
Условие:
Имеются данные о возрастном составе рабочих (лет): 18, 38, 28, 29, 26, 38, 34, 22, 28, 30, 22, 23, 35, 33, 27, 24, 30, 32, 28, 25, 29, 26, 31, 24, 29, 27, 32, 25, 29, 29.
- Построить интервальный ряд распределения.
- Построить графическое изображение ряда.
- Графически определить моду и медиану.
Решение:
1) По формуле Стерджесса совокупность надо разделить на 1 + 3,322 lg 30 = 6 групп.
Максимальный возраст - 38, минимальный - 18.
Ширина интервала Так как концы интервалов должны быть целыми числами, разделим совокупность на 5 групп. Ширина интервала - 4.
Для облегчения подсчетов расположим данные в порядке возрастания: 18, 22, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 29, 29, 30, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 38, 38.
Распределение возрастного состава рабочих
Графически ряд можно изобразить в виде гистограммы или полигона. Гистограмма - столбиковая диаграмма. Основание столбика - ширина интервала. Высота столбика равна частоте.
Полигон (или многоугольник распределения) - график частот. Чтобы его построить по гистограмме, соединяем середины верхних сторон прямоугольников. Многоугольник замыкаем на оси Ох на расстояниях, равных половине интервала от крайних значений х.
Мода (Мо) - это величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто.
Чтобы определить моду по гистограмме, надо выбрать самый высокий прямоугольник, провести линию от правой вершины этого прямоугольника к правому верхнему углу предыдущего прямоугольника, и от левой вершины модального прямоугольника провести линию к левой вершине последующего прямоугольника. От точки пересечения этих линий провести перпендикуляр к оси х. Абсцисса и будет модой. Мо ≈ 27,5. Значит, наиболее часто встречаемый возраст в данной совокупности 27-28 лет.
Медиана (Mе) - это величина изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда.
Медиану находим по кумуляте. Кумулята - график накопленных частот. Абсциссы - варианты ряда. Ординаты - накопленные частоты.
Для определения медианы по кумуляте находим по оси ординат точку, соответствующую 50% накопленных частот (в нашем случае 15), проводим через неё прямую, параллельно оси Ох, и от точки её пересечения с кумулятой проводим перпендикуляр к оси х. Абсцисса является медианой. Ме ≈ 25,9. Это означает, что половина рабочих в данной совокупности имеет возраст менее 26 лет.
Высшего профессионального образования
«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И
ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(Калужский филиал)
Кафедра естественнонаучных и математических дисциплин
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине «Статистика»
Студент___Майборода Галина Юрьевна______
Заочного отделения факультет Государственное и муниципальное управление группа Г-12-В
Преподаватель ____________________ Хамер Г.В.
К.п.н., доцент
Калуга-2013 г.
Задача 1.
Задача 1.1. 4
Задача 1.2. 16
Задача 1.3. 24
Задача 1.4. 33
Задача 2.
Задача 2.1. 43
Задача 2.2. 48
Задача 2.3. 53
Задача 2.4. 58
Задача 3.
Задача 3.1. 63
Задача 3.2. 68
Задача 3.3. 73
Задача 3.4. 79
Задача 4.
Задача 4.1. 85
Задача 4.2. 88
Задача 4.3. 90
Задача 4.4. 93
Список использованных источников. 96
Задача 1.
Задача 1.1.
Имеются следующие данные о выпуске продукции и сумме прибыли предприятиями области (таблица 1).
Таблица 1
Данные о выпуске продукции и сумме прибыли предприятиями
| № предприятия | Выпуск продукции, млн. руб. | Прибыль, млн. руб. | № предприятия | Выпуск продукции, млн. руб. | Прибыль, млн. руб. |
| 63,0 | 6,7 | 56,0 | 7,2 | ||
| 48,0 | 6,2 | 81,0 | 9,6 | ||
| 39,0 | 6,5 | 55,0 | 6,3 | ||
| 28,0 | 3,0 | 76,0 | 9,1 | ||
| 72,0 | 8,2 | 54,0 | 6,0 | ||
| 61,0 | 7,6 | 53,0 | 6,4 | ||
| 47,0 | 5,9 | 68,0 | 8,5 | ||
| 37,0 | 4,2 | 52,0 | 6,5 | ||
| 25,0 | 2,8 | 44,0 | 5,0 | ||
| 60,0 | 7,9 | 51,0 | 6,4 | ||
| 46,0 | 5,5 | 50,0 | 5,8 | ||
| 34,0 | 3,8 | 65,0 | 6,7 | ||
| 21,0 | 2,1 | 49,0 | 6,1 | ||
| 58,0 | 8,0 | 42,0 | 4,8 | ||
| 45,0 | 5,7 | 32,0 | 4,6 |
По исходным данным:
1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по выпуску продукции, образовав пять групп с равными интервалами.
Постройте графики ряда распределения: полигон, гистограмму, кумуляту. Графически определите значение моды и медианы.
2. Рассчитайте характеристики ряда распределения предприятий по выпуску продукции: среднюю арифметическую, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Сделайте вывод.
3. Методом аналитической группировки установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли на одно предприятие.
4. Измерьте тесноту корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли эмпирическим корреляционным отношением.
Сделайте общие выводы.
Решение:
Построим статистический ряд распределения
Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение предприятий по объему выпуска продукции, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.
При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле:
х max и х min – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности предприятий;
k - число групп интервального ряда.
Число групп k задано в условии задания. k = 5.
х max = 81 млн. руб., х min = 21 млн. руб.
Расчет величины интервала:
млн. руб.
Путем последовательного прибавления величины интервала h = 12 млн. руб. к нижней границе интервала, получаем следующие группы:
1 группа: 21 – 33 млн. руб.
2 группа: 33 – 45 млн. руб.;
3 группа: 45 – 57 млн. руб.
4 группа: 57 – 69 млн. руб.
5 группа: 69 – 81 млн. руб.
Для построения интервального ряда необходимо подсчитать количество предприятий, входящих в каждую группу (частоты групп ).
Процесс группировки предприятий по объему выпуска продукции представлен во вспомогательной таблице 2. Графа 4 этой таблицы необходима для построения аналитической группировки (пункт 3 задания).
Таблица 2
Таблица для построения интервального ряда распределения и
аналитической группировки
| Группы предприятий по объему выпуска продукции, млн. руб. | № предприятия | Выпуск продукции, млн. руб. | Прибыль, млн. руб. |
| 21-33 | 21,0 | 2,1 | |
| 25,0 | 2,8 | ||
| 28,0 | 3,0 | ||
| 32,0 | 4,6 | ||
| Всего | 106,0 | 12,5 | |
| 33-45 | 34,0 | 3,8 | |
| 37,0 | 4,2 | ||
| 39,0 | 6,5 | ||
| 42,0 | 4,8 | ||
| 44,0 | 5,0 | ||
| Всего | 196,0 | 24,3 | |
| 45-57 | 45,0 | 5,7 | |
| 46,0 | 5,5 | ||
| 47,0 | 5,9 | ||
| 48,0 | 6,2 | ||
| 49,0 | 6,1 | ||
| 50,0 | 5,8 | ||
| 51,0 | 6,4 | ||
| 52,0 | 6,5 | ||
| 53,0 | 6,4 | ||
| 54,0 | 6,0 | ||
| 55,0 | 6,3 | ||
| 56,0 | 7,2 | ||
| Всего | 606,0 | 74,0 | |
| 57-69 | 58,0 | 8,0 | |
| 60,0 | 7,9 | ||
| 61,0 | 7,6 | ||
| 63,0 | 6,7 | ||
| 65,0 | 6,7 | ||
| 68,0 | 8,5 | ||
| Всего | 375,0 | 45,4 | |
| 69-81 | 72,0 | 8,2 | |
| 76,0 | 9,1 | ||
| 81,0 | 9,6 | ||
| Всего | 229,0 | 26,9 | |
| Итого | 183,1 |
На основе групповых итоговых строк «Всего» таблицы 3 формируется итоговая таблица 3, представляющая интервальный ряд распределения предприятий по объему выпуска продукции.
Таблица 3
Ряд распределения предприятий по объему выпуска продукции
Вывод. Построенная группировка показывает, что распределение предприятий по объему выпуска продукции не является равномерным. Наиболее часто встречаются предприятии с объемом выпуска продукции от 45 до 57 млн. руб. (12 предприятий). Наименее часто встречаются предприятий с объемом выпуска продукции от 69 до 81 млн. руб. (3 предприятия).
Построим графики ряда распределения.
Полигон чаще используют для изображения дискретных рядов. Для построения полигона в прямоугольной системе координат на оси абсцисс откладывают значения аргумента, т. е. варианты (для интервальных вариационных рядов в качестве аргумента принимают середину интервала) а на оси ординат - значения частот . Далее в этой системе координат строят точки, координатами которых являются пары соответствующих чисел из вариационного ряда. Полученные точки последовательно соединяют отрезками прямой. Полигон представлен на рисунке 1.
Гистограмма – столбиковая диаграмма. Она позволяет оценить симметричность распределения. Гистограмма представлена на рисунке 2.
Рисунок 1 – Полигон распределения предприятий по объему
выпуска продукции
|
Рисунок 2 – Гистограмма распределения предприятий по объему
выпуска продукции
Мода – значение признака, которое встречается наиболее часто в исследуемой совокупности.
Для интервального ряда графически моду можно определить по гистограмме (рисунок 2). Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который в данном случае является модальным (45 – 57 млн. руб.). Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.
Млн. руб.
Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий наиболее часто встречаются предприятия с выпуском продукции в 52 млн. руб.
Кумулята – ломаная кривая. Она строится по накопленным частотам (рассчитаны в таблице 4). Кумулята начинается с нижней границы первого интервала (21 млн. руб.), накопленная частота откладывается в верхней границе интервала. Кумулята представлена на рисунке 3.
|
Рисунок 3 - Кумулята распределения предприятий по объему
выпуска продукции
Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.
В интервальном ряду медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой. Для определения медианы из точки на шкале накопленных частот, соответствующей 50% (30:2 = 15), проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.
Млн. руб.
Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина предприятий имеют объем выпуска продукции не более 52 млн. руб., а другая половина – не менее 52 млн. руб.
Похожая информация.
Результаты группировки собранных статистических данных, как правило, представляются в виде рядов распределения. Ряд распределения - это упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по изучаемому признаку.
Ряды распределения делятся на атрибутивные и вариационные, в зависимости от признака, положенного в основу группировки. Если признак качественный, то ряд распределения называется атрибутивным. Примером атрибутивного ряда является распределение предприятий и организаций по формам собственности (см. табл. 3.1).
Если признак, по которому строится ряд распределения, количественный, то ряд называется вариационным.
Вариационный ряд распределения всегда состоит из двух частей: вариант и соответствующих им частот (или частостей). Вариантой называется значение , которое может принимать признак у единиц совокупности, частотой - количество единиц наблюдения, обладающих данным значением признака. Сумма частот всегда равна объему совокупности. Иногда вместо частот рассчитывают частости - это частоты, выраженные либо в долях единицы (тогда сумма всех частостей равна 1), либо в процентах к объему совокупности (сумма частостей будет равна 100%).
Вариационные ряды бывают дискретными и интервальными. У дискретных рядов (табл. 3.7) варианты выражены конкретными числами, чаще всего целыми.
| Время работы в компании, полных лет (варианты) | Число работающих | |
|---|---|---|
| Человек (частоты) | в % к итогу (частости) | |
| до года | 15 | 11,6 |
| 1 | 17 | 13,2 |
| 2 | 19 | 14,7 |
| 3 | 26 | 20,2 |
| 4 | 10 | 7,8 |
| 5 | 18 | 13,9 |
| 6 | 24 | 18,6 |
| Итого | 129 | 100,0 |
В интервальных рядах (см. табл. 3.2) значения показателя задаются в виде интервалов. Интервалы имеют две границы: нижнюю и верхнюю. Интервалы могут быть открытыми и закрытыми. У открытых нет одной из границ, так, в табл. 3.2 у первого интервала нет нижней границы, а у последнего - верхней. При построении интервального ряда в зависимости от характера разброса значений признака используют как равные интервальные промежутки, так и неравные (в табл. 3.2 представлен вариационный ряд с равными интервалами).
Если признак принимает ограниченное число значений, обычно не больше 10, строят дискретные ряды распределения. Если вариант больше, то дискретный ряд теряет свою наглядность; в этом случае целесообразно использовать интервальную форму вариационного ряда. При непрерывной вариации признака, когда его значения в определенных пределах отличаются друг от друга на сколь угодно малую величину, также строят интервальный ряд распределения.
3.3.1. Построение дискретных вариационных рядов
Рассмотрим методику построения дискретных вариационных рядов на примере.
Пример 3.2. Имеются следующие данные о количественном составе 60 семей:
Для того чтобы получить представление о распределении семей по числу их членов, следует построить вариационный ряд. Поскольку признак принимает ограниченное число целых значений строим дискретный вариационный ряд. Для этого сначала рекомендуется выписать все значения признака (число членов в семье) в порядке возрастания (т.е. провести ранжирование статистических данных):
Затем необходимо подсчитать число семей, имеющих одинаковый состав. Число членов семей (значение варьирующего признака) - это варианты (будем их обозначать через х), число семей, имеющих одинаковый состав, - это частоты (будем их обозначать через f). Результаты группировки представим в виде следующего дискретного вариационного ряда распределения:
| Число членов семьи (х) | Число семей (y) |
|---|---|
| 1 | 8 |
| 2 | 14 |
| 3 | 20 |
| 4 | 9 |
| 5 | 5 |
| 6 | 4 |
| Итого | 60 |
3.3.2. Построение интервальных вариационных рядов
Покажем методику построения интервальных вариационных рядов распределения на следующем примере.
Пример 3.3. В результате статистического наблюдения получены следующие данные о средней величине процентной ставки 50 коммерческих банков (%):
| 14,7 | 19,0 | 24,5 | 20,8 | 12,3 | 24,6 | 17,0 | 14,2 | 19,7 | 18,8 |
| 18,1 | 20,5 | 21,0 | 20,7 | 20,4 | 14,7 | 25,1 | 22,7 | 19,0 | 19,6 |
| 19,0 | 18,9 | 17,4 | 20,0 | 13,8 | 25,6 | 13,0 | 19,0 | 18,7 | 21,1 |
| 13,3 | 20,7 | 15,2 | 19,9 | 21,9 | 16,0 | 16,9 | 15,3 | 21,4 | 20,4 |
| 12,8 | 20,8 | 14,3 | 18,0 | 15,1 | 23,8 | 18,5 | 14,4 | 14,4 | 21,0 |
Как видим, просматривать такой массив данных крайне неудобно, кроме того, не видно закономерностей изменения показателя. Построим интервальный ряд распределения.
- Определим число интервалов.
Число интервалов на практике часто задается самим исследователем исходя из задач каждого конкретного наблюдения. Вместе с тем его можно вычислить и математически по формуле Стерджесса
n = 1 + 3,322lgN,
где n - число интервалов;
N - объем совокупности (число единиц наблюдения).
Для нашего примера получим: n = 1 + 3,322lgN = 1 + 3,322lg50 = 6,6 " 7.
- Определим величину интервалов (i) по формуле
где х max - максимальное значение признака;
х min - минимальное значение признака.
Для нашего примера
Интервалы вариационного ряда наглядны, если их границы имеют "круглые" значения, поэтому округлим величину интервала 1,9 до 2, а минимальное значение признака 12,3 до 12,0.
- Определим границы интервалов.
Интервалы, как правило, записывают таким образом, чтобы верхняя граница одного интервала являлась одновременно нижней границей следующего интервала. Так, для нашего примера получим: 12,0-14,0; 14,0-16,0; 16,0-18,0; 18,0-20,0; 20,0-22,0; 22,0-24,0; 24,0-26,0.
Подобная запись означает, что признак непрерывный. Если же варианты признака принимают строго определенные значения, например, только целые, но их количество слишком велико для построения дискретного ряда, то можно создать интервальный ряд, где нижняя граница интервала не будет совпадать с верхней границей следующего интервала (это будет означать, что признак дискретный). Например, в распределении работников предприятия по возрасту можно создать следующие интервальные группы лет: 18-25, 26-33, 34-41, 42-49, 50-57, 58-65, 66 и более.
Кроме того, в нашем примере мы могли бы сделать первый и последний интервалы открытыми, т.д. записать: до 14,0; 24,0 и выше.
- По исходным данным построим ранжированный ряд. Для этого запишем в порядке возрастания значения, которые принимает признак. Результаты представим в таблице:
Таблица 3.13. Ранжированный ряд величин процентной ставки коммерческих банков
Ставка банка % (варианты) 12,3 17,0 19,9 23,8 12,8 17,4 20,0 24,5 13,0 18,0 20,0 24,6 13,3 18,1 20,4 25,1 13,8 18,5 20,4 25,6 14,2 18,7 20,5 14,3 18,8 20,7 14,4 18,9 20,7 14,7 19,0 20,8 14,7 19,0 21,0 15,1 19,0 21,0 15,2 19,0 21,1 15,3 19,0 21,4 16,0 19,6 21,9 16,9 19,7 22,7 - Подсчитаем частоты.
При подсчете частот может возникнуть ситуация, когда значение признака попадет на границу какого-либо интервала. В таком случае можно руководствоваться правилом: данная единица приписывается к тому интервалу, для которого ее значение является верхней границей. Так, значение 16,0 в нашем примере будет относиться ко второму интервалу.
Результаты группировки, полученные в нашем примере, оформим в таблице.
| Краткая ставка, % | Количество банков, ед. (частоты) | Накопленные частоты |
|---|---|---|
| 12,0-14,0 | 5 | 5 |
| 14,0-16,0 | 9 | 14 |
| 16,0-18,0 | 4 | 18 |
| 18,0-20,0 | 15 | 33 |
| 20,0-22,0 | 11 | 44 |
| 22,0-24,0 | 2 | 46 |
| 24,0-26,0 | 4 | 50 |
| Итого | 50 | - |
В последней графе таблицы представлены накопленные частоты, которые получают путем последовательного суммирования частот, начиная с первой (например, для первого интервала - 5, для второго интервала 5 + 9 = 14, для третьего интервала 5 + 9 + 4 = 18 и т.д.). Накопленная частота, например, 33, показывает, что у 33 банков кредитная ставка не превышает 20% (верхняя граница соответствующего интервала).
В процессе группировки данных при построении вариационных рядов иногда используются неравные интервалы. Это относится к тем случаям, когда значения признака подчиняются правилу арифметической или геометрической прогрессии или когда применение формулы Стерджесса приводит к появлению "пустых" интервальных групп, не содержащих ни одной единицы наблюдения. Тогда границы интервалов задаются произвольно самим исследователем исходя из здравого смысла и целей обследования либо по формулам. Так, для данных, изменяющихся в арифметической прогрессии, величина интервалов вычисляется следующим образом.