| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Метод Лагранжа. |
| Рубрика (тематическая категория) | Математика |
Найти полином означает определить значения его коэффициента 
. Для этого используя условие интерполяции можно сформировать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Определитель этой СЛАУ принято называть определителем Вандермонда. Определитель Вандермонда не равен нулю при для , то есть в том случае, когда в интерполяционной таблице нет совпадающих узлов. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, можно утверждать, что СЛАУ имеет решение и это решение единственно. Решив СЛАУ и определив неизвестные коэффициенты можно построить интерполяционный полином .
Полином, удовлетворяющий условиям интерполяции, при интерполяции методом Лагранжа строится в виде линейной комбинации многочленов n-ой степени:
Многочлены принято называть базисными многочленами. Для того, чтобы многочлен Лагранжа удовлетворял условиям интерполяции крайне важно, чтобы для его базисных многочленов выполнялись следующие условия:
для 
.
В случае если эти условия выполняются, то для любого имеем:
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, выполнение заданных условий для базисных многочленов означает, что выполняются и условия интерполяции.
Определим вид базисных многочленов исходя из наложенных на них ограничений.
1-е условие: при .
2-е условие: .
Окончательно для базисного многочлена можно записать:
Тогда, подставляя полученное выражение для базисных многочленов в исходный полином, получаем окончательный вид многочлена Лагранжа:
Частная форма многочлена Лагранжа при принято называть формулой линейной интерполяции:
.
Многочлен Лагранжа взятый при принято называть формулой квадратичной интерполяции:
Метод Лагранжа. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Метод Лагранжа." 2017, 2018.
Линейные ДУ. Определение. ДУ вида т.е. линейное относ-но неизвестной ф-ции и ее производной наз-ся линейным. Для реш-я такого типа ур-й рассмотрим два метода: метод Лагранжа и метод Бернулли.Рассмотрим однородное ДУ Это ур-е с разделяющимися переем-ми Решение ур-я Общее... .
Определение. ДУ наз-ся однород-м, если ф-я может быть представлена, как ф-я отнош-я своих аргументов Пример. Ф-я наз-ся однородной ф-й измерения если Примеры: 1) - 1-й порядок однородности. 2) - 2-й порядок однородности. 3) - нулевой порядок однородности (просто однородная... .
Задачи на экстремум имеют большое значение в экономических расчетах. Это вычисление, например, максимумов дохода, прибыли, минимума издержек в зависимости от нескольких переменных: ресурсов, производственных фондов и т.д. Теория нахождения экстремумов функций... .
3. 2. 1. ДУ с разделяющимися переменными С.Р. 3. В естествознании, технике и экономике часто приходится иметь дело с эмпирическими формулами, т.е. формулами, составленными на основе обработки статистических данных или...
|
Метод Лагранжа ─ это метод решения задачи условной оптимизации, при котором ограничения, записываемые как неявные функции, объединяются с целевой функцией в форме нового уравнения, называемого лагранжианом .
Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного программирования:
Дана система нелинейных уравнений (1):
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
Найти наименьшее (или наибольшее) значение функции (2)
(2) f (х1,х2,…,хn),
если отсутствуют условия неотрицательности переменных и f(х1,х2,…,хn) и gi(x1,x2,…,xn) ─ функции, непрерывные вместе со своими частными производными.
Чтобы найти решение этой задачи, можно применить следующий метод: 1. Вводят набор переменных λ1, λ2,…, λm, называемых множителями Лагранжа, составляют функцию Лагранжа (3)
(3) F(х1,х2,…,хn , λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi .
2. Находят частные производные от функции Лагранжа по переменным xi и λi и приравнивают их нулю.
3. Решая систему уравнений, находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.
4.Среди точек, подозрительных не экстремум, находят такие, в которыхдостигается экстремум, и вычисляют значения функции в этих точках.
4. Сравнить полученные значения функции f и выбрать наилучшее.
По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве х1 изделия I способом затраты равны 4*х1+х1^2 руб., а при изготовлении х2 изделий II способом они составляют 8*х2+х2^2 руб. Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, так чтобы общие затраты на производство продукции были минимальными.
Решение: Математическая постановка задачи состоит в определении наименьшего значения функции двух переменных:
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, при условии x1 +x2 = 180.
Составим функцию Лагранжа:
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
Вычислим ее частные производные по х1,х2, λ и приравняем их к 0:
Перенесем в правые части первых двух уравнений λ и приравняем их левые части, получим 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, или x1 − x2 = 2.
Решая последнее уравнение совместно с уравнением x1 + x2 = 180, находим x1 = 91, x2 = 89, то есть получили решение, удовлетворяющее условиям:
Найдем значение целевой функции f при этих значениях переменных:
F(x1, x2) = 17278
Эта точка является подозрительной на экстремум. Используя вторые частные производные, можно показать, что в точке (91,89) функция f имеет минимум.
Точка М называется внутренней для некоторого множества G, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью. Точка N называется граничной для множества G, если в любой ее полной окрестности имеются точки, как принадлежащие G, так и не принадлежащие ему.
Совокупность всех граничных точек множества G называется границей Г.
Множество G будет называться областью, если все его точки – внутренние (открытое множество). Множество G с присоединенной границей Г называется замкнутой областью. Область называется ограниченной, если она целиком содержится внутри круга достаточно большого радиуса.
Наименьшее и наибольшее значения функции в данной области называются абсолютными экстремумами функции в этой области.
Теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наименьшего и своего наибольшего значений.
Следствие. Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо на Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой областиG необходимо найти все ее критические точки в этой области, вычислить значения функции в этих точках (включая граничные) и путем сравнения полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее из них.
Пример
4.1.
Найти
абсолютный экстремум функции (наибольшее
и наименьшее значения)
в треугольной областиD
с вершинами
,
,
(рис.1).
;
,
то есть точка О(0, 0) – критическая точка, принадлежащая области D. z(0,0)=0.
Исследуем границу:
а)
ОА: y=0
;z(x,
0)=0; z(0,
0)=0; z(1,
0)=0,
б)
ОВ: х=0
z(0,y)=0;
z(0,
0)=0; z(0,
2)=0,
в)
АВ:
;
,
Пример
4.2.
Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области, ограниченной осями
координат и прямой
.
1) Найдем критические точки, лежащие в области:
,
,
.
Исследуем границу. Т.к. граница состоит из отрезка ОА оси Ох, отрезка ОВ оси Оу и отрезка АВ, то определим наибольшее и наименьшее значения функции z на каждом из этих отрезков.
,
z(0,
2)=–3, z(0,
0)=5, z(0,
4)=5.
M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.
Среди всех найденных значений выбираем z наиб =z(4, 0)=13; z наим =z(1, 2)=–4.
5. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию.
Пусть рассматривается
функция
,
аргументы
и
которой удовлетворяют условию
,
называемому уравнением связи.
Точка
называется точкой условного максимума
(минимума), если существует такая
окрестность этой точки, что для всех
точек
из этой окрестности удовлетворяющих
условию
,
выполняется неравенство
или
.
На рис.2 изображена
точка условного максимума
.
Очевидно, что она не является точкой
безусловного экстремума функции
(на рис.2 это точка
).
Наиболее простым
способом нахождения условного экстремума
функции двух переменных является
сведение задачи к отысканию экстремума
функции одной переменной. Допустим
уравнение связи
удалось разрешить относительно одной
из переменных, например, выразить
через
:
.
Подставив полученное выражение в функцию
двух переменных, получим
т.е. функцию одной
переменной. Ее экстремум и будет условным
экстремумом функции
.
Пример 5.1.
Найти
точки максимума и минимума функции
при условии
.
Решение. Выразим
из уравнения
переменную
через переменную
и подставим полученное выражение
в функцию
.
Получим
или
.
Эта функция имеет единственный минимум
при
.
Соответствующее значение функции
.
Таким образом,
– точка условного экстремума (минимума).
В рассмотренном
примере уравнение связи
оказалось линейным, поэтому его легко
удалось разрешить относительно одной
из переменных. Однако в более сложных
случаях сделать это не удается.
Для отыскания
условного экстремума в общем случае
используется метод множителей Лагранжа.
Рассмотрим функцию трех переменных
.
Эта функция называется функцией Лагранжа,
а
–
множитель Лагранжа. Верна следующая
теорема.
Теорема.
Если
точка
является точкой условного экстремума
функции
при
условии
,
то существует значение
такое, что точка
является точкой экстремума функции
.
Таким образом, для
нахождения условного экстремума функции
при
условии
требуется
найти решение системы
П
оследнее
из этих уравнений совпадает с уравнением
связи. Первые два уравнения системы
можно переписать в виде,
т.е. в точке условного экстремума
градиенты функций
и
коллинеарны. На рис. 3 показан геометрический
смысл условий Лагранжа. Линия
пунктирная, линия уровня
функции
сплошные. Из рис. следует, что в точке
условного экстремума линия уровня
функции
касается линии
.
Пример 5.2
.
Найти точки экстремума функции
при условии
,
используя метод множителей Лагранжа.
Решение. Составляем функцию Лагранжа . Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений:
Ее единственное
решение
.
Таким образом, точкой условного экстремума
может быть только точка (3; 1). Нетрудно
убедиться в том, что в этой точке функция
имеет условный минимум. В случае, если
число переменных более двух, моет
рассматриваться и несколько уравнений
связи. Соответственно в этом случае
будет и несколько множителей Лагранжа.
Задача нахождения условного экстремума используется при решении таких экономических задач, как нахождение оптимального распределения ресурсов, выбор оптимального портфеля ценных бумаг и др.