Среди важнейших обобщающих характеристик, относительно которых чаще всего выдвигаются гипотезы, является средняя величина. С целью проверки гипотезы о равенстве средних в генеральной совокупности необходимо сформулировать нулевую гипотезу. При этом, как правило, исходят из того, что обе выборки взяты из нормально распределенной генеральной совокупности с математическим ожиданием, равным X и с дисперсией, равной с0 . Если это предположение верно, то х1 - х2 ~ х . Фактически же выборочные средние Х1 И Х2 не будут равны из-за случайности выборки. Поэтому нужно выяснить существенность различий между х1 х2 - находится ли их разница в пределах возможной случайной вариации или же она выходит за эти пределы. Тогда задача проверки гипотезы сводится к проверке существенности различия
Каждая выборочная средняя имеет свою ошибку /и:
Определив дисперсии и среднюю ошибку выборочных средних, можно вычислить фактическое значение И-критерия и сравнить его с критическим (табличным) значением при соответствующем уровне значимости и числе степеней свободы вариации (для выборок с численностью п > 30 используется и-критерий нормального распределения, а для выборок с численностью п < 30 - и-критерий Стьюдента).
Фактическое значение и-критерия определяется по формуле
Если выборочное значение критерия попадает в критическую область (їфакі> О, нулевая гипотеза о равенстве средних отклоняется; если же выборочное значение критерия попадает в область допустимых значений (Іфакг< їа), нулевая гипотеза принимается.
Нулевая гипотеза о равенстве средних в двух генеральных совокупностях может быть также проверена путем сравнения фактической средней разницы [єФа,.т = ~~2 ) с предельной случайной ошибкой при заданном уровне значимости (еа). Если фактическая разница между выборочными средними находится в пределах случайной ошибки (єфакт < еа), нулевая гипотеза принимается. Если же фактическая разница между средними выходит за пределы случайной ошибки (еф^т > еа), нулевая гипотеза отклоняется.
При решении конкретных задач по проверке статистических гипотез относительно средних необходимо учитывать следующие моменты: 1) схему формирования выборок (выборки независимые и зависимые); 2) равенство или неравенство объемов выборок; 3) равенство или неравенство дисперсий генеральных совокупностях.
Алгоритм проверки гипотезы относительно двух средних несколько меняется, если дисперсии по выборкам (512 и 522) существенно отличаются. В этом случае при определении числа степеней свободы вводится поправка:
Когда же при неравных дисперсиях по выборкам, неровными есть и их численности (п1 и п2), табличное значение г-критерия Стьюдента следует рассчитать по формуле
где и1 и и2 - табличные значения Г-критерия Стьюдента, которые берутся в соответствии с п1 - 1 и п2 - 1 степенями свободы.
Рассмотрим пример проверки статистической гипотезы о равенстве двух средних независимых выборок равной численности (п1=п2) и равными дисперсиями (СГ;2 =).
Да, есть данные по живой массы телят при рождении двух группах коров черно-пестрой породы (коровы одного возраста). Первая группа коров имела нормальную продолжительность лактации (305 дней), а вторая группа доилась в течение 320 дней. В каждую группу вошло по 5 коров. Данные наблюдения приведены в табл. 7.2.
Таблица 7.2. Живая масса телят при рождении по группам коров с разной продолжительностью лактации
Сопоставление живых масс телят по двух группах коров показывает, что более высокая живая масса телят наблюдается у коров И группы, которые имели нормальную продолжительность лактации. Однако, в связи с тем, что численность выборок небольшая (п = 5), не исключена возможность, что разногласия между живыми массами полученные в результате действия случайных причин.
Необходимо статистически оценить разницу между средними по двум группам коров.
По результатам проверки гипотезы сделать вывод о том, что разница между средними лежит в пределах случайных колебаний, или же эта разница настолько значительная, что не согласуется с нулевой гипотезой о случайном характере различий между средними.
Если будет доказано второе положение и отклонено первых, можно утверждать, что продолжительность лактации влияет на живую массу телят.
Условие задачи предполагает, что обе выборки взяты из нормально распределенной генеральной совокупности. Формирование групп случайное (независимое), поэтому должна оцениваться разница между средними.
Определим среднюю живую массу телят по двух группах коров:
Фактическая разница между средними составляет:
Существенность этой разницы должна быть оценена. Для этого необходимо проверить гипотезу о равенстве двух средних.
Рассмотрим подробно все этапы схемы проверки гипотезы. 1. Сформулируем нулевую Но и На альтернативную гипотезы:
2. Примем уровень значимости а = 0,05, гарантируя принятие гипотезы или отказа от нее с вероятностью ошибки только в 5 случаях из 100.
3. Наиболее мощным критерием для проверки такого рода гипотезы Н0 есть и-критерий Стьюдента.
4. Сформулируем правило принятия решения по результатам
проверки Н0. Поскольку по альтернативной гипотезой х1 может быть или меньше или больше х2 , то критическая область должна быть установлена с двух
сторон: и - ~иа и и - иа, или короче: иа.
Такая форма задания критерия называется двусторонней критической областью. Критическая область при а = 0,05 будет содержаться в пределах - все значения выше, чем верхняя 2,5% и ниже, чем 2,5% точки распределения и-критерия Стьюдента.
С учетом сказанного выводы по проверке Н0 можно сформулировать так: гипотеза Н0 отклонятся, если фактическое значение Г-критерия окажется
больше табличное значение, то есть если іфакт > иа. В противном случае Ка должна быть принята.
5. Чтобы проверить Н0 нужно определить фактическое значение Г-критерия Стьюдента и сравнить его с табличным значением.
Для определения фактического значения Г-критерия Стьюдента выполним следующие вычисления.
6. Вычислим по каждой выборке скорректированные на потерю степеней свободы вариации дисперсии. Для этого предварительно возведем в квадрат значения хц и х2і:
7. Рассчитаем квадраты средних ошибок по каждой выборке и обобщенную среднюю ошибку разности средних:
8. Рассчитаем фактическое значение Г-критерия Стьюдента:
9. Определим табличное значение критерия Г-Стьюдента, исходя из уровня значимости а = 0,05 и числа степеней свободы для двух выборок:
По таблице "Критические точки распределения Стьюдента" (доп. 3) найдем и при а = 0,05 и к = 8: і005 = 2,31.
10. Сравним фактическое и табличное значение-критерия Стьюдента:
Поскольку іфаккг < и^05 (выборочное значение критерия находится в области допустимых значений), нулевая гипотеза о равенстве средних генеральных совокупностях принимается.
Итак, влияние продолжительности лактации на живую массу телят при рождении оказывается недоведенним.
Однако следует обратить внимание на такой существенный момент: живая масса телят при рождении во всех наблюдениях опыта выше в первой группе коров, которые имеют нормальную продолжительность лактации. Поэтому вместо альтернативной гипотезы На х1 ф х2 может быть взята другая. Поскольку нет оснований считать, что при нормальной продолжительности лактации живая масса телят будет ниже, то очевидно, что более целесообразной формой альтернативной гипотезы есть: На: х1 > х2.
Тогда критическая область, что составляет 0,05 всей площади под кривой распределения, будет расположена только с одной (правой) стороны, так как отрицательные значения живых масс считаются несовместимыми с условиями задачи. В связи с этим табличное значение-критерия следует определять при удвоенном значении уровня значимости (т.е. при 2а; иа = 2 o 0,05 = 0,10). Критерий проверки гипотезы формулируется так: нулевая гипотеза отклоняется, если > і2а.
Такая форма задачи критической области называется односторонней. Односторонний критерий более чувствителен к ошибкам второго рода, но его применение допустимо лишь в случае, если доказана правомерность данной альтернативной гипотезы.
Установим по таблицам (прил. 3) табличное значение-критерия при а = 0,10 и к = 8, і0Д0 = 1,86.
Итак, при использовании одностороннего критерия нулевая гипотеза отклоняется, Т.е. критерий окажется в критической области (іфакг > і0д0; 2,14 > 1,86). Таким образом, живая масса телят при рождении в группе коров с нормальной продолжительностью лактации существенно выше. Этот вывод точный, чем полученный на основе двустороннего критерия, так как здесь использована дополнительная информация для обоснования правильности применения одностороннего критерия.
Такой же вывод получим и путем сравнения возможной предельной ошибки двух выборок еа с фактической разницей средних.
Вычислим возможную предельную ошибку разности средних по двум выборкам: є0до = Г010 o /А_2 = 1,86 o 1,87 = 3,48 кг и сравним ее с фактической разницей средних:
Сопоставляя предельную возможную ошибку с фактической разницей средних, можно сделать аналогичный вывод о том, что выдвинутая гипотеза о равенстве средних не согласуется с полученными результатами.
Проверку гипотезы для случая зависимых выборок с равными чисельностями и равными дисперсиями рассмотрим на таком примере.
Да, есть данные выборочного наблюдения по продуктивности коров-матерей и коров-дочерей (табл. 7.3).
Таблица 7.3. Продуктивность коров-матерей и коров-дочерей
Необходимо проверить статистическую гипотезу относительно средней разницы между парами взаимосвязанных наблюдений в генеральной совокупности.
Так как наблюдения двух выборок попарно взаимосвязаны (зависимые выборки), то необходимо сравнивать не разницу между средними, а среднее значение разностей между парами наблюдений (и). Рассмотрим все этапы процедуры проверки гипотезы. 1. Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы:
При такой альтернативе необходимо применить двусторонний критерий.
2. Уровень значимости примем равным а = 0,05.
3. Самым мощным критерием проверки Н0 есть и-критерий Стьюдента.
4. Вычислим среднюю разность
5. Рассчитаем скорректированную дисперсию средней разницы:
6. Определим среднюю ошибку средней разницы:
7. Вычислим фактическое значение-критерия Стьюдента:
8. Установим число степеней свободы, исходя из численности пар взаимосвязанных разниц:
9. Найдем табличное значение Г-критерия Стьюдента при к = 4 и а = 0,05; V. = 2,78 (прил. 3).
10. Сравним фактическое и табличное значение критерия:
Фактическое значение критерия выше табличное. Следовательно, величина средней разницы между надоями двух выборок существенная и нулевая гипотеза отклоняется.
Такие же выводы получим, сравнивая возможную предельную ошибку с фактической средней разницей:
Предельная ошибка показывает, что в результате случайного варьирования средняя разница может достигать 2,4 ц. Фактическая средняя разница выше:
Итак, по результатам исследования можно с высокой степенью вероятности утверждать, что различия в значениях средних удоев коров-матерей и коров-дочерей вероятны.
Проверка равенства среднего определенному значению.
Выборки извлечены из совокупности, имеющей нормальное распределение, данные независимы.
Критериальное значение вычисляется по формуле:
где N - размер выборки;
S 2 - эмпирическая дисперсия выборки;
А - предполагаемая величина среднего значения;
X- среднее значение.
Число степеней свободы для t-критерия V = n-1.
Нулевая гипотеза
Н 0: X = А против Н А: X≠А. Нулевая гипотеза о равенстве средних отвергается, если по абсолютной величине критериальное значение больше верхней α/2 % точки t-распределения взятого с V степенями свободы, то есть при │t│> t vα/2 .
Н 0: Х< А против Н А: X > А. Нулевая гипотеза отвергается, если критериальное значение больше верхней α% точки t-распределения взятого с V степенями свободы, то есть при │t│> t vα .
Н 0: Х>А против H А: X < А. Нулевая гипотеза отвергается, если критериальное значение меньше нижней α% точки t-распределения, взятого с V степенями свободы.
Критерий устойчив при малых отклонениях от нормального распределения.
Пример
Рассмотрим пример, представленный на рис. 5.10. Допустим, что нам необходимо проверить гипотезу о равенстве среднего для выборки (ячейки 123:130) величине 0,012.
Сначала находим среднее выборки (=СРЗНАЧ(123:130) в I31) и дисперсию (=ДИСП(I23:I30) в I32). После этого рассчитываем критериальное (=(131-0,012)*КОРЕНЬ(133)/132) и критическое (=СТЬЮДРАСПОБР(0,025;133-1)) значения. Поскольку критериальное значение (24,64) больше критического (2,84), то гипотеза о равенстве среднего 0,012 отвергается.
Рисунок 5.10 Сравнение среднего значения с константой
1. проверить гипотезы о средних и дисперсиях с помощью параметрических критериев Фишера и Кохрена (таблица 5.4);
2. проверить гипотезу о равенстве средних при неравных дисперсиях выборок (для этого в одной из выборок своего варианта убрать 1 или 2 значения) (таблица 5.4);
3. проверить гипотезу о равенстве среднего заданному значению А (таблица 5.5) и данные из 1-го столбца по варианту.
Таблица 5.4
Варианты заданий
| Данные эксперимента | |||||||||
| Вариант | |||||||||
| 2,3 | 2,6 | 2,2 | 2,1 | 2,5 | 2,6 | ||||
| 1,20 | 1,42 | 17,3 | 23,5 | 2,37 | 2,85 | 35,2 | 26,1 | 2,1 | 2,6 |
| 5,63 | 5,62 | 26,1 | 27,0 | 5,67 | 2,67 | 35,9 | 25,8 | 5,1 | 5,63 |
| 2,34 | 2,37 | 23,9 | 23,3 | 2,35 | 2,34 | 33,6 | 23,8 | 2,34 | 2,38 |
| 7,71 | 7,90 | 28,0 | 25,2 | 2,59 | 2,58 | 35,7 | 26,0 | 7,63 | 7,6,1 |
| 1,2 | 1,6 | 1,7 | 2,6 | 1,9 | 2,8 | ||||
| 1,13 | 1,15 | 21,6 | 21,2 | 2,13 | 2,16 | 31,7 | 1,12 | 1,12 | |
| 1,45 | 1,47 | 24,7 | 24,8 | 2,45 | 2,47 | 34,8 | 24,5 | 1,49 | 1,45 |
| 3,57 | 3,59 | 25,9 | 25,7 | 2,55 | 2,59 | 36,0 | 25,7 | 3,58 | 3,58 |
| 3,3 | 3,6 | 2,5 | 2,4 | 3,4 | 3,5 | ||||
| Данные эксперимента | |||||||||
| Вариант | |||||||||
| 7,3 | 7,6 | 12,2 | 12,1 | 3,5 | 4,6 | ||||
| 6,20 | 6,42 | 217,3 | 230,5 | 12,37 | 12,85 | 75,2 | 86,1 | 3,1 | 4,6 |
| 7,63 | 5,62 | 264,1 | 278,0 | 15,67 | 14,67 | 75,9 | 75,8 | 5,1 | 5,63 |
| 6,34 | 5,37 | 233,9 | 236,3 | 12,35 | 12,34 | 73,6 | 73,8 | 3,34 | 4,38 |
| 7,71 | 7,90 | 281,0 | 255,2 | 12,59 | 12,58 | 85,7 | 86,0 | 3,63 | 4,6,1 |
| 6,2 | 6,6 | 11,7 | 12,6 | 3,9 | 4,8 | ||||
| 4,13 | 4,15 | 251,6 | 261,2 | 12,13 | 12,16 | 71,7 | 5,12 | 4,12 | |
| 5,45 | 6,47 | 244,7 | 247,8 | 12,45 | 12,47 | 74,8 | 84,5 | 3,49 | 4,45 |
| 5,57 | 5,59 | 250,9 | 255,7 | 12,55 | 12,59 | 86,0 | 85,7 | 3,58 | 3,58 |
| 5,3 | 5,6 | 12,5 | 12,4 | 3,4 | 3,5 |
Таблица 5.5
Значение А
| Варианты | |||||||||
| 2,2 | 2,2 | 2,2 | 6,5 | 12,2 | 3,5 |
В качестве исходных данных в задании можете использовать свои экспериментальные данные.
Отчет должен содержать расчеты статистических характеристик.
1. Какие статистические задачи решаются при исследовании технологических процессов производства пищевой промышленности?
2. Каким образом сравниваются статистические характеристики случайных величин?
3. Уровень значимости и доверительная вероятность при достоверности оценки экспериментальных данных.
4. Как осуществляется проверка статистических гипотез с помощью критериев согласия?
5. От чего зависит мощность критерия согласия для анализа экспериментальных выборок?
6. Каким образом осуществояется подбор критерия для решения задач анализа технологических процессов производства пищевых продуктов?
7. Каким образом осуществляется классификация критериев согласия для анализа выборок результатов исследований технологических процессов производства пищевых продуктов?
8. Какие требования предъявляются к выборкам резльтатов исследований технологических процессов производства пищевых продуктов?
Проверка статистических гипотез: гипотеза о равенстве средних для двух выборки
Работа носит вспомогательный характер, должна служить фрагментом других лабораторных работ.
Ни одно грамотное социологическое исследование не может обойтись без выдвижения гипотез. По большому счету можно вообще сказать, что главная его цель - это опровержение или подтверждение какого-либо предположения исследователя о социальной реальности на основе собранных им эмпирических данных. Мы выдвигаем гипотезу, собираем данные и делаем на основе статистического материала вывод. Но именно эта цепочка гипотеза-данные-вывод и содержит в себе массу вопросов, с которыми сталкивается практически любой начинающий исследователь. Основной из таких вопросов заключается в следующем: как перевести выдвинутую нами гипотезу на математический язык для того, чтобы ее потом можно было соотнести со статистическим массивом и, обработав с помощью методов математической статистики, опровергнуть или подтвердить? Здесь мы постараемся ответить на этот вопрос на примере проверки гипотез о равенстве средних.
Проверка статистических гипотез о равенстве средних
Под статистической гипотезой понимаются различного рода предположения относительно характера или параметров распределения случайной переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты в случайной выборке.
Следует иметь в виду, что проверка статистической гипотезы имеет вероятностный характер. Также как мы никогда не можем на 100% быть уверены в том, что какой-либо выборочный параметр совпадает с параметром генеральной совокупности, мы никогда не можем абсолютно точно сказать, верна или ложна выдвинутая нами гипотеза.
Для того чтобы проверить статистическую гипотезу необходимо следующее:
1. Преобразовать содержательную гипотезу в статистическую: сформулировать нулевую и альтернативную статистические гипотезы.
2. Определить зависимые или независимые у нас выборки.
3. Определить объем выборок.
4. Выбрать критерий.
5. Выбрать уровень значимости, контролирующий допустимую вероятность ошибки первого рода, и определить область допустимых значений.
7. Отвергнуть или принять нулевую гипотезу.
Теперь рассмотрим каждый из шести пунктов более подробно.
Формулировка гипотезы
В статистических задачах часто бывает нужно сравнить средние двух разных выборок . Например, нас может интересовать разница средних зарплат мужчин и женщин, средних возрастов неких групп <А> и <В> и т.д. Или же, сформировав две независимые экспериментальные группы, мы можем сравнивать их средние с целью проверить, насколько различается, скажем, воздействие двух разных лекарств на кровяное давление или насколько размер группы влияет на отметки студентов. Иногда бывает так, что мы разбиваем совокупность на две группы попарно, то есть, имеем дело с близнецами, супружескими парами или одним и тем же человеком до и после какого-либо эксперимента и т.д. Чтобы стало более ясно, рассмотрим характерные примеры, где применяются различные критерии о равенстве средних.
Пример №1. Фирма разработала два разных препарата, понижающих давление (назовем их препараты Х и Y ) и хочет узнать различается или нет воздействие данных лекарств на больных, страдающих гипертонией. Из 50 человек с соответствующим заболеванием случайно выбираются 20 и случайно эти 20делятся на две группы по 10 человек. Первая группа в течение недели пользуется препаратом Х , вторая - препаратом Y . Затем у всех больных измеряется давление. Выдвигаемая содержательная гипотеза: препараты Х и Y по-разному влияют на кровяное давление больных .
Пример №2. Исследователь хочет узнать, как влияет продолжительность лекции на успеваемость студентов. Допустим, он избрал следующий путь: из 200 студентов случайно выбрал 50 человек и в течение месяца наблюдал за их успеваемостью. Далее он увеличил продолжительность лекций на 10 минут и в течение следующего месяца смотрел на успеваемость все тех же50 студентов. Потом он сравнил результаты каждого студента до и после увеличения продолжительности лекции. Выдвигаемая содержательная гипотеза: продолжительность лекции влияет на успеваемость студента .
Пример №3. Из 200 студентов случайно были выбраны 80 человек, и эти 80 человек разделили на две группы по 40. Одной группе задавали вопрос без установки: <Сколько вы готовы заплатить за натуральный йогурт?>, а второй группе задавали вопрос с установкой: <Сколько вы готовы заплатить за натуральный йогурт, если известно, что люди, потребляющие йогуртовые культуры, страдают на 10-15% меньше от заболеваний желудка?> Исследователь предполагал, что положительная информация о продукте, содержащаяся во втором вопросе, повлияет на респондента, и люди, отвечающие на вопрос с установкой, будут готовы заплатить за йогурт больше, нежели те, которым был предложен вопрос без установки. Выдвигаемая содержательная гипотеза: постановка вопроса влияет на ответ респондента .
Перед нами три примера, каждый из которых демонстрирует формулировку содержательной гипотезы. Теперь преобразуем наши содержательные гипотезы в статистические, но для начала немного скажем о статистических гипотезах в целом.
Наиболее частый подход к формулировке статистических гипотез - это выдвижение двух двусторонних гипотез :
Как видно из формулы, нулевая гипотеза говорит о том, что какой-либо параметр выборки или, скажем, разница между параметрами двух выборок равна некоему числу а . Альтернативная гипотеза утверждает обратное: интересующий нас параметр не равен а . Таким образом, данные две гипотезы содержат в себе все возможные варианты исходов.
Также возможна формулировка односторонних гипотез :
Иногда такие гипотезы оказываются более осмысленными. Обычно они имеют место в том случае, когда вероятность того, что наш параметр может оказаться больше (или меньше) а равна нулю, то есть такое невозможно.
Теперь сформулируем нулевую и альтернативную статистические гипотезы для наших трех примеров.
Таблица №1.
|
Пример №1 |
Пример №2 |
Пример №3 |
|
|
Препараты Х и Y по-разному влияют на кровяное давление больных |
Продолжительность лекции влияет на успеваемость студентов |
Постановка вопроса влияет на ответ респондента |
|
|
Задача исследователя |
4.Найти среднее арифметическое разностей для всех студентов, обозначаемое | ||
|
Нулевая гипотеза | |||
|
Смысл нулевой гипотезы |
исредние генеральных совокупностей, из которых взяты выборки со среднимии. Нулевая гипотеза говорит о том, что влияние обоих лекарств на давление в среднем незначительно, и если даже выборочные средние не равны, то это объясняется лишь погрешностью выборки или иными не зависящими от нас причинами |
Среднее разностей для студентов в генеральной совокупности. Нулевая гипотеза говорит о том, что на самом деле нет разницы между средним баллом студента до и после увеличения продолжительности лекции, и если даже выборочное среднее разностей отлично от нуля, то это объясняется лишь погрешностью выборки или иными не зависящими от нас причинами |
Посколькусовпадает св примере №1, то объяснения можно найти в первой колонке (см. пример 1) |
|
Альтернативная гипотеза | |||
|
Вывод относительно содержательной гипотезы |
Если мы принимаем нулевую гипотезу - препараты оказывают одинаковое влияние (разницы между средними нет), то мы отвергаем содержательную гипотезу, в противном случае - мы принимаем содержательную гипотезу |
Если мы принимаем нулевую гипотезу - продолжительность лекции не влияет на успеваемость, то мы отвергаем содержательную гипотезу и наоборот |
Если мы принимаем нулевую гипотезу - вопрос не влияет на выбор респондента, то мы отвергаем содержательную гипотезу и наоборот. |
Один из самых простых случаев проверки статистической гипотезы заключается в проверке равенства между средним генеральной совокупности и некоторым заданным значением. Заданное значение представляет собой некоторое фиксированное число µ 0 , полученное не из выборочных данных. Гипотезы имеют следующий вид.
Н 0: µ = µ 0 – нулевая гипотеза утверждает, что неизвестное среднее значение генеральной совокупности µ в точности равно заданному значению µ 0 .
Н 1: µ µ 0 - альтернативная гипотеза утверждает, что неизвестное среднее значение генеральной совокупности µ не равно заданному значению µ 0 .
Обратите внимание, что фактически здесь фигурируют три различных числа, имеющих отношение к среднему:
§ µ - неизвестное среднее генеральной совокупности, которое вас интересует;
§ µ 0 - заданное значение, в отношении которого проверяют гипотезу;
§ - известное выборочное среднее, которое используют для вынесения решения о принятии гипотезы. Из указанных трех чисел только это значение является случайной величиной, так как оно рассчитано из данных выборки. Заметим, что является оценкой и, следовательно, представляет µ.
Проверка гипотезы заключается в сравнении двух известных величин и µ 0 . Если эти значения отличаются сильнее, чем можно было бы ожидать исходя из случайности, то нулевую гипотезу µ = µ 0 отклоняют, так как предоставляет информацию о неизвестном среднем µ. Если значения и µ 0 достаточно близки, то нулевую гипотезу µ = µ 0 принимают. Но что означает “значения близки”? Где находится необходимая граница? Близость должна определяться на основе значения , поскольку эта стандартная ошибка определяет степень случайности . Таким образом, если и µ 0 отстоят друг от друга на расстоянии достаточного количества стандартных ошибок, то это является убедительным доказательством того, что µ не равно µ 0 .
Существуют два различных метода проверки гипотезы и получения результата. Первый метод использует доверительные интервалы, о которых шла речь в предыдущей главе. Это более простой метод, потому что (а) вы уже знаете, как строить и интерпретировать доверительный интервал, и (б) доверительный интервал интерпретируется непосредственно, поскольку он выражен в тех же единицах измерения, что и данные (например, в долларах, количестве людей, количестве поломок). Второй метод (основанный на t-статистике ) является более традиционным, но интуитивно менее понятным, поскольку заключается в том, чтобы вычислить показатель, измеренный не в тех же единицах, что и данные, сравнить полученное значение с соответствующим критическим значением из t- таблицы и затем сделать вывод.