Расчет размера выборки. Интервальное оценивание генеральной доли

КАЛЬКУЛЯТОРЫ

Генеральная совокупность

Суммарная численность объектов наблюдения (люди, домохозяйства, предприятия, населенные пункты и т.д.), обладающих определенным набором признаков (пол, возраст, доход, численность, оборот и т.д.), ограниченная в пространстве и времени. Примеры генеральных совокупностей:- Все жители Москвы (10,6 млн. человек по данным переписи 2002 года)- Мужчины-Москвичи (4,9 млн. человек по данным переписи 2002 года)- Юридические лица России (2,2 млн. на начало 2005 года)- Розничные торговые точки, осуществляющие продажу продуктов питания (20 тысяч на начало 2008 года) и т.д.

Выборка (Выборочная совокупность)

Часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение обо всей генеральной совокупности. Для того чтобы заключение, полученное путем изучения выборки, можно было распространить на всю генеральную совокупность, выборка должна обладать свойством репрезентативности.

Репрезентативность выборки

Свойство выборки корректно отражать генеральную совокупность. Одна и та же выборка может быть репрезентативной и нерепрезентативной для разных генеральных совокупностей.Пример:- Выборка, целиком состоящая из москвичей, владеющих автомобилем, не репрезентирует все население Москвы. - Выборка из российских предприятий численностью до 100 человек не репрезентирует все предприятия России.- Выборка из москвичей, совершающих покупки на рынке, не репрезентирует покупательское поведение всех москвичей.В то же время, указанные выборки (при соблюдении прочих условий) могут отлично репрезентировать москвичей-автовладельцев, небольшие и средние российские предприятия и покупателей, совершающих покупки на рынках соответственно.Важно понимать, что репрезентативность выборки и ошибка выборки - разные явления. Репрезентативность, в отличие от ошибки никак не зависит от размера выборки.Пример:Как бы мы не увеличивали количество опрошенных москвичей-автовладельцев, мы не сможем репрезентировать этой выборкой всех москвичей.

Ошибка выборки (доверительный интервал)

Отклонение результатов, полученных с помощью выборочного наблюдения от истинных данных генеральной совокупности.Ошибка выборки бывает двух видов - статистическая и систематическая. Статистическая ошибка зависит от размера выборки. Чем больше размер выборки, тем она ниже.Пример:Для простой случайной выборки размером 400 единиц максимальная статистическая ошибка (с 95% доверительной вероятностью) составляет 5%, для выборки в 600 единиц - 4%, для выборки в 1100 единиц - 3% Обычно, когда говорят об ошибке выборки, подразумевают именно статистическую ошибку.Систематическая ошибка зависит от различных факторов, оказывающих постоянное воздействие на исследование и смещающих результаты исследования в определенную сторону.Пример:- Использование любых вероятностных выборок занижает долю людей с высоким доходом, ведущих активный образ жизни. Происходит это в силу того, что таких людей гораздо сложней застать в каком-либо определенном месте (например, дома).- Проблема респондентов, отказывающихся отвечать на вопросы анкеты (доля «отказников» в Москве, для разных опросов, колеблется от 50% до 80%)В некоторых случаях, когда известны истинные распределения, систематическую ошибку можно нивелировать введением квот или перевзвешиванием данных, но в большинстве реальных исследований даже оценить ее бывает достаточно проблематично.

Типы выборок

Выборки делятся на два типа:
- вероятностные
- невероятностные

1. Вероятностные выборки
1.1 Случайная выборка (простой случайный отбор)
Такая выборка предполагает однородность генеральной совокупности, одинаковую вероятность доступности всех элементов, наличие полного списка всех элементов. При отборе элементов, как правило, используется таблица случайных чисел.
1.2 Механическая (систематическая) выборка
Разновидность случайной выборки, упорядоченная по какому-либо признаку (алфавитный порядок, номер телефона, дата рождения и т.д.). Первый элемент отбирается случайно, затем, с шагом ‘n’ отбирается каждый ‘k’-ый элемент. Размер генеральной совокупности, при этом - N=n*k
1.3 Стратифицированная (районированная)
Применяется в случае неоднородности генеральной совокупности. Генеральная совокупность разбивается на группы (страты). В каждой страте отбор осуществляется случайным или механическим образом.
1.4 Серийная (гнездовая или кластерная) выборка
При серийной выборке единицами отбора выступают не сами объекты, а группы (кластеры или гнёзда). Группы отбираются случайным образом. Объекты внутри групп обследуются сплошняком.

2.Невероятностные выборки
Отбор в такой выборке осуществляется не по принципам случайности, а по субъективным критериям - доступности, типичности, равного представительства и т.д..
2.1. Квотная выборка
Изначально выделяется некоторое количество групп объектов (например, мужчины в возрасте 20-30 лет, 31-45 лет и 46-60 лет; лица с доходом до 30 тысяч рублей, с доходом от 30 до 60 тысяч рублей и с доходом свыше 60 тысяч рублей) Для каждой группы задается количество объектов, которые должны быть обследованы. Количество объектов, которые должны попасть в каждую из групп, задается, чаще всего, либо пропорционально заранее известной доле группы в генеральной совокупности, либо одинаковым для каждой группы. Внутри групп объекты отбираются произвольно. Квотные выборки используются в маркетинговых исследованиях достаточно часто.
2.2. Метод снежного кома
Выборка строится следующим образом. У каждого респондента, начиная с первого, просятся контакты его друзей, коллег, знакомых, которые подходили бы под условия отбора и могли бы принять участие в исследовании. Таким образом, за исключением первого шага, выборка формируется с участием самих объектов исследования. Метод часто применяется, когда необходимо найти и опросить труднодоступные группы респондентов (например, респондентов, имеющих высокий доход, респондентов, принадлежащих к одной профессиональной группе, респондентов, имеющих какие-либо схожие хобби/увлечения и т.д.)
2.3 Стихийная выборка
Опрашиваются наиболее доступные респонденты. Типичные примеры стихийных выборок - опросы в газетах/журналах, анкеты, отданные респондентам на самозаполнение, большинство интернет-опросов. Размер и состав стихийных выборок заранее не известен, и определяется только одним параметром - активностью респондентов.
2.4 Выборка типичных случаев
Отбираются единицы генеральной совокупности, обладающие средним (типичным) значением признака. При этом возникает проблема выбора признака и определения его типичного значения.

Калькулятор расчета ошибки и размера выборки

(для простой случайной выборки)

Пояснения к полям:

Доверительная вероятность
Вероятность того, что доверительный интервал накроет неизвестное истинное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным. В практике исследований чаще всего используют 95%-ую доверительную вероятность

Ошибка выборки (доверительный интервал)
Интервал, вычисленный по выборочным данным, который с заданной вероятностью (доверительной) накрывает неизвестное истинное значение оцениваемого параметра распределения.

Доля признака

Ожидаемая доля признака, для которого рассчитывается ошибка. В случае, если данные о доле признака отсутствуют, необходимо использовать значение равное 50, при котором достигается максимальная ошибка.

Один из главных компонентов тщательно продуманного исследования – определение выборки и что такое репрезентативная выборка. Это как в примере с тортом. Ведь не обязательно съедать весь десерт, чтобы понять его вкус? Достаточно небольшой части.

Так вот, торт – это генеральная совокупность (то есть все респонденты, которые подходят для опроса). Она может быть выражена территориально, например, лишь жители Московской области. Гендерно – только женщины. Или иметь ограничения по возрасту – россияне старше 65 лет.

Высчитать генеральную совокупность сложно: нужно иметь данные переписи населения или предварительных оценочных опросов. Поэтому обычно генеральную совокупность «прикидывают», а из полученного числа высчитывают выборочную совокупность или выборку .

Что такое репрезентативная выборка?

Выборка – это чётко определенное количество респондентов. Её структура должна максимально совпадать со структурой генеральной совокупности по основным характеристикам отбора.

Например, если потенциальные респонденты – всё население России, где 54% — это женщины, а 46% — мужчины, то выборка должна содержать точно такое же процентное соотношение. Если совпадение параметров происходит, то выборку можно назвать репрезентативной. Это значит, что неточности и ошибки в исследовании сводятся к минимуму.

Объем выборки определяется с учётом требований точности и экономичности. Эти требования обратно пропорциональны друг другу: чем больше объем выборки, тем точнее результат. При этом чем выше точность, тем соответственно больше затрат необходимо на проведение исследования. И наоборот, чем меньше выборка, тем меньше на неё затрат, тем менее точно и более случайно воспроизводятся свойства генеральной совокупности.

Поэтому для вычисления объема выбора социологами была изобретена формула и создан специальный калькулятор :

Доверительная вероятность и доверительная погрешность

Что означают термины «доверительная вероятность » и «доверительная погрешность »? Доверительная вероятность – это показатель точности измерений. А доверительная погрешность – это возможная ошибка результатов исследования. К примеру, при генеральной совокупности более 500 00 человек (допустим, проживающие в Новокузнецке) выборка будет равняться 384 человека при доверительной вероятности 95% и погрешности 5% ИЛИ (при доверительном интервале 95±5%).

Что из этого следует? При проведении 100 исследований с такой выборкой (384 человека) в 95 процентов случаев получаемые ответы по законам статистики будут находиться в пределах ±5% от исходного. И мы получим репрезентативную выборку с минимальной вероятностью статистической ошибки.

После того, как подсчет объема выборки выполнен, можно посмотреть есть ли достаточное число респондентов в демо-версии Панели Анкетолога . А как провести панельный опрос можно подробнее узнать .

Интервальное оценивание вероятности события. Формулы расчета численности выборки при собственно-случайном способе отбора.

Для определения вероятностей интересующих нас событий мы применяем выборочный метод : проводим n независимых экспериментов, в каждом из которых может произойти (или не произойти) событие А (вероятность р появления события А в каждом эксперименте постоянна). Тогда относительная частота p* появлений событий А в серии из n испытаний принимается в качестве точечной оценки для вероятности p появления события А в отдельном испытании. При этом величину p* называют выборочной долей появлений события А , а р - генеральной долей .

В силу следствия из центральной предельной теоремы (теорема Муавра-Лапласа) относительную частоту события при большом объеме выборки можно считать нормально распределенной с параметрами M(p*)=p и

Поэтому при n>30 доверительный интервал для генеральной доли можно построить, используя формулы:

где u кр находится по таблицам функции Лапласа с учетом заданной доверительной вероятности γ: 2Ф(u кр)=γ.

При малом объеме выборки n≤30 предельная ошибка ε определяется по таблице распределения Стьюдента :
где t кр =t(k; α) и число степеней свободы k=n-1 вероятность α=1-γ (двустороння область).

Формулы справедливы, если отбор проводился случайным повторным образом (генеральная совокупность бесконечна), в противном случае необходимо сделать поправку на бесповторность отбора (таблица).

Средняя ошибка выборки для генеральной доли

Генеральная совокупность	Бесконечная	Конечная объема N
Тип отбора	Повторный	Бесповторный
Средняя ошибка выборки

Формулы расчета численности выборки при собственно-случайном способе отбора

Способ отбора	Формулы определения численности выборки
	для средней	для доли
Повторный
Бесповторный

Задачи о генеральной доле

На вопрос «Накрывает ли доверительный интервал заданное значение p 0 ?» - можно ответить, проверив статистическую гипотезу H 0:p=p 0 . При этом предполагается, что опыты проводятся по схеме испытаний Бернулли (независимы, вероятность p появления события А постоянна). По выборке объема n определяют относительную частоту p * появления события A: где m - количество появлений события А в серии из n испытаний. Для проверки гипотезы H 0 используется статистика, имеющая при достаточно большом объеме выборки стандартное нормальное распределение (табл. 1).
Таблица 1 - Гипотезы о генеральной доле

Гипотеза	H 0:p=p 0	H 0:p 1 =p 2
Предположения	Схема испытаний Бернулли	Схема испытаний Бернулли
Оценки по выборке
Статистика K
Распределение статистики K		Стандартное нормальное N(0,1)

Пример №1 . С помощью случайного повторного отбора руководство фирмы провело выборочный опрос 900 своих служащих. Среди опрошенных оказалось 270 женщин. Постройте доверительный интервал , с вероятностью 0.95 накрывающий истинную долю женщин во всем коллективе фирмы.
Решение. По условию выборочная доля женщин составляет (относительная частота женщин среди всех опрошенных). Так как отбор является повторным, и объем выборки велик (n=900) предельная ошибка выборки определяется по формуле

Значение u кр находим по таблице функции Лапласа из соотношения 2Ф(u кр)=γ, т.е. Функция Лапласа (приложение 1) принимает значение 0.475 при u кр =1.96. Следовательно, предельная ошибка и искомый доверительный интервал
(p – ε, p + ε) = (0.3 – 0.18; 0.3 + 0.18) = (0.12; 0.48)
Итак, с вероятностью 0.95 можно гарантировать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0.12 до 0.48.

Пример №2 . Владелец автостоянки считает день «удачным», если автостоянка заполнена более, чем на 80 %. В течение года было проведено 40 проверок автостоянки, из которых 24 оказались «удачными». С вероятностью 0.98 найдите доверительный интервал для оценки истинной доли «удачных» дней в течение года.
Решение . Выборочная доля «удачных» дней составляет
По таблице функции Лапласа найдем значение u кр при заданной
доверительной вероятности
Ф(2.23) = 0.49, u кр = 2.33.
Считая отбор бесповторным (т.е. две проверки в один день не проводилось), найдем предельную ошибку:
где n=40 , N = 365 (дней). Отсюда
и доверительный интервал для генеральной доли: (p – ε, p + ε) = (0.6 – 0.17; 0.6 + 0.17) = (0.43; 0.77)
С вероятностью 0.98 можно ожидать, что доля «удачных» дней в течение года находится в интервале от 0.43 до 0.77.

Пример №3 . Проверив 2500 изделий в партии, обнаружили, что 400 изделий высшего сорта, а n–m – нет. Сколько надо проверить изделий, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0.01 ?
Решение ищем по формуле определения численности выборки для повторного отбора.

Ф(t) = γ/2 = 0.95/2 = 0.475 и этому значению по таблице Лапласа соответствует t=1.96
Выборочная доля w = 0.16; ошибка выборки ε = 0.01

Пример №4 . Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется соответствующим стандарту, составляет не менее 0.97. Среди случайно отобранных 200 изделий проверяемой партии оказалось 193 соответствующих стандарту. Можно ли на уровне значимости α=0,02 принять партию?
Решение . Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.
H 0:p=p 0 =0,97 - неизвестная генеральная доля p равна заданному значению p 0 =0,97. Применительно к условию - вероятность того, что деталь из проверяемой партии окажется соответствующей стандарту, равна 0.97; т.е. партию изделий можно принять.
H 1:p<0,97 - вероятность того, что деталь из проверяемой партии окажется соответствующей стандарту, меньше 0.97; т.е. партию изделий нельзя принять. При такой альтернативной гипотезе критическая область будет левосторонней.
Наблюдаемое значение статистики K (таблица) вычислим при заданных значениях p 0 =0,97, n=200, m=193

Критическое значение находим по таблице функции Лапласа из равенства

По условию α=0,02 отсюда Ф(Ккр)=0,48 и Ккр=2,05. Критическая область левосторонняя, т.е. является интервалом (-∞;-K kp)= (-∞;-2,05). Наблюдаемое значение К набл =-0,415 не принадлежит критической области, следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отклонять основную гипотезу. Партию изделий принять можно.

Пример №5 . Два завода изготавливают однотипные детали. Для оценки их качества сделаны выборки из продукции этих заводов и получены следующие результаты. Среди 200 отобранных изделий первого завода оказалось 20 бракованных, среди 300 изделий второго завода - 15 бракованных.
На уровне значимости 0.025 выяснить, имеется ли существенное различие в качестве изготавливаемых этими заводами деталей.

По условию α=0,025 отсюда Ф(Ккр)=0,4875 и Ккр=2,24. При двусторонней альтернативе область допустимых значений имеет вид (-2,24;2,24). Наблюдаемое значение K набл =2,15 попадает в этот интервал, т.е. на данном уровне значимости нет оснований отвергать основную гипотезу. Заводы изготавливают изделия одинакового качества.

Описание работы калькулятора:

В поле «Объем генеральной совокупности» нужно ввести целое неотрицательное число, равное количеству объектов в совокупности, из которой производится отбор в выборочной совокупности. Например, это может быть количество документов в массиве или, чаще, численность населения, проживающего на определенной территории, или количество людей в целевой группе. На практике часто случаются ситуации, когда выборочная совокупность в 100 и более раз меньше генеральной совокупности. В этом случае генеральная совокупность считается квазибесконечной. Этот параметр установлен по умолчанию (символ «∞» в поле «Объем генеральной совокупности » ).

Далее нужно выбрать (поставить с помощью клика левой кнопки «мыши» точку в нужном кружочке) уровень доверительной вероятности которой будет оценена погрешность выборки или ее объем, то есть поставить с помощью клика левой кнопки «мыши» точку в нужном кружочке. Чем больше заданный уровень доверительной вероятности, тем меньше будет шанс, что реальная погрешность выйдет за пределы теоретической оценки или, что рассчитанный объем выборки будет недостаточным для того, чтобы делать оценки с точностью, не превышающей заданную погрешность. Если доверительную вероятность обозначить P , то вероятность , что оценка погрешности или объема будет неправильной равна 1-Р. При P =0,95 вероятность ошибки равна 0,05 (1 шанс из 20); при P =0,99 эта же вероятность равна 0,01 (1 шанс на 100).

Если Вы хотите рассчитать погрешность выборки определенного объема, то в поле «Объем выборочной совокупности » следует ввести неотрицательное число , равное количеству объектов в выборке . После этого Вы кликнуть левой кнопкой «мыши» кнопку расчет, которая должна стать зеленой после правильного введения Вами исходных данных. В поле «Теоретическая статистическая погрешность » будет выведено число больше 0 и меньше единицы, в котором вместо запятой использована точка «.» (с точностью до 3 знаков после десятичной точки). Если Вы хотите перевести эту погрешность в проценты, просто умножьте число на 100 - перенесите мысленно десятичную запятую на два знака вправо. Так, в приведенном примере по результатам расчета видно, что теоретическая статистическая погрешность случайной вероятностной выборки объемом 1600 единиц с квазибесконечной генеральной совокупности с доверительной вероятностью 0,99 не превышает 0,032 (3,2%).

В том случае, когда необходимо рассчитать объем выборочной совокупности с квазибесконечной генеральной совокупности, достаточной для обеспечения теоретической статистической погрешности не более, чем заданная, Вам нужно заполнить поле «Теоретическая статистическая погрешность» (число от 0 до 1, вместо десятичной запятой «,» – десятичная точка «.» ; проценты нужно перевести в частку от единицы : 3,2%=0,032 т. п.). Также следует задать уровень доверительной вероятности, кликнув левой кнопкой «мыши» точку в нужном кружочке справа от надписи «Доверительная вероятность ». После этого Вам достаточно кликнуть левой клавишей мыши на зеленой кнопке «Расчет» и в поле «Объем выборочной совокупности» Вы увидите результат.

Для ввода новых данных и повторного расчета следует нажать черную кнопку «Очистить » .

Необходимое количество респондентов зависит от целей опроса и того, насколько важна достоверность результатов. Чем выше достоверность Вы хотите получить, тем ниже должен быть допустимый предел погрешности.

Определения

Численность совокупности

Численность совокупности - это размер всей группы, которую Вы хотите представить в опросе.

Совокупность : вся группа, о которой Вы хотите сделать выводы.
Выборка : группа, которую Вы опрашиваете.

Подумайте о потенциальном размере Вашей целевой совокупности. Например, если Вы отправляете опрос пользователям iPhone мужского пола, проживающим в определенном регионе, Вам может потребоваться провести небольшое исследование с целью определить, сколько всего мужчин соответствует этим критериям.

Предел погрешности

Предел погрешности указывает, насколько результаты отклоняются от фактических значений. Это процентное значение, означающее, с какой вероятностью мнения и поведение выборки опроса отклоняются от мнения и поведения общей совокупности. Чтобы рассчитать предел погрешности, используйте наш калькулятор предела погрешности .

Чем меньше предел погрешности, тем точнее будет ответ при определенном уровне доверия.

В общем случае, чем больше размер выборки, тем меньше предел погрешности. Чем ближе размер выборки к численности совокупности, тем более репрезентативными будут результаты. И именно поэтому, посмотрев на таблицу ниже, Вы можете заметить, что с уменьшением рекомендованного размера выборки увеличивается допустимая погрешность.

Допустим, мы опросили 400 человек о том, поддерживают ли они президента своей страны, и 55% ответило утвердительно. Если уровень доверия равен 95%, а пределы погрешности составляют ±5%, то при стократном повторении опроса в одних и тех же условиях 95 раз из 100 ответ находился бы в пределах между 50% и 60%.

Уровень доверия

Уровень доверия указывает, насколько достоверными являются полученные результаты. Общепринятые стандарты, используемые исследователями: 90%, 95% и 99%.

Уровень доверия 95% означает, что, если повторить один и тот же опрос при одинаковых условиях 100 раз, 95 раз из 100 результаты будут приблизительно находиться в пределах погрешности.

При определении размера выборки используется z-оценка уровня доверия. Z-оценка - это мера стандартного отклонения определенной доли от средней величины.

Уровень доверия
90%	1,65
95%	1,96
99%	2,58

Процентное значение

Требования к размеру выборки могут меняться в зависимости от процентной доли выборки, которая дает определенный ответ. Например, если в предыдущем опросе было обнаружено, что 75% клиентов выражают удовлетворенность Вашим продуктом, и Вы хотите провести такой опрос снова, можно использовать p = 0,75 для расчета требуемого размера выборки.

Если опрос проводится в первый раз, то, поскольку опросы обычно содержат более одного вопроса (и поэтому оценивать требуется более одного процентного значения), мы рекомендуем использовать p = 0,5 для расчета оптимального размера выборки. Это дает нам примерный размер выборки, который не будет ни слишком консервативным ни слишком свободным.

Ниже приведена таблица, в которой указаны рекомендованные значения численности совокупности* для предела погрешности при уровне доверия 95%.

Численность совокупности	Размер выборки для предела погрешности






100 000 и более

* Мы рассчитали рекомендованные размеры выборки по указанной выше формуле. В некоторых случаях размеры выборки были округлены вверх до 5 или 10. Для более точного расчета используйте наш калькулятор размера выборки .

Вы отправляете родителям детей Вашей школы опрос с вопросом о том, поддерживают ли они продление учебного дня. Вопрос имеет варианты ответа «Да» и «Нет».

Общее количество родителей (численность совокупности) - 10 000, и Вас устраивает предел погрешности ±10%. По таблице выше Вы можете определить, что в опросе должно принять участие не менее 100 человек.

70% из 100 опрошенных родителей ответили, что согласны на продление учебного дня. Таким образом, можно предположить, что если бы в опросе участвовали все 10 000 родителей, 60-80% людей поддержало бы продление учебного дня.

Сколько людей следует попросить пройти опрос?

Может определять, какому количеству людей нужно отправить опрос. Чем выше процентная доля ответивших, тем меньше людей необходимо попросить пройти опрос.

Например, если Вам нужно 100 респондентов и Вы ожидаете, что 25% людей, приглашенных принять участие в опросе, ответят на него, Вам необходимо пригласить 400 человек.

СОВЕТ. Если Вам требуется гарантированное количество респондентов, приобретите ответы на опрос в SurveyMonkey Audience. Вы укажете необходимое количество ответов, и мы найдем респондентов, соответствующих Вашим критериям целевой аудитории.