Исторически первыми числами, с которыми познакомился человек, были натуральные числа: 1, 2, 3, и т.д. С помощью таких чисел можно было посчитать какое-нибудь количество целых предметов.
однако, натуральные числа имели очень большой недостаток, связанный с тем, что они не представляют замкнутую систему относительно такой математической операции, как вычитание. В самом деле, если Вы имеете только натуральные числа, то Вы не можете сказать чему равно, например, 1-2=?. Даже такая простая операция, как вычитание, уже приводит к тому, что нам становится не хватать чисел.
Мы говорим о «кости Ишанго», одном из первых свидетельств использования чисел в истории человечества; Мы немного узнали о жизни Уорлпири, австралийского племени, которое, несмотря на свою тысячелетнюю историю, не разработало более числовые понятия, чем «одинокие» и «многие»; и мы также знакомы с развитием, которое вавилоняне и египтяне привели к интересной истории чисел.
Определение понятия числа
Под влиянием вавилонского и египетского наследия некоторые греки считали, что эти числа являются священными и что вселенная является проявлением их сущности, как, например, Пифагор. Сын торговца, он сопровождал своего отца во многих своих поездках, благодаря этому Пифагор получил наставление от известных людей из таких городов, как халдеев и сирийцев; в раннем возрасте он знал, как играть в лиру, писал стихи и читал таких поэтов, как Гомер.
Это привело к появлению понятия целых чисел. Целые числа возникают не просто добавлением отрицательных чисел к натуральным. Самым существенным моментом для возникновения понятия целого числа, является изобретение числа "ноль". Это число "0" изобрели индийские математики. Данное открытие числа нуль явилось настоящей революцией в математике. Ибо математики впервые придумали название и обозначение чему-то такому, чего на самом деле нет, чего не существует.
Считается, что уже в его зрелом возрасте Пифагор совершил долгий путь через Египет, Аравию, Вавилон и Индию, где он культивировал учение священников и был проинструктирован по разным дисциплинам, многие из которых были религиозными. Возможно, по этой причине, вернувшись в Грецию, точнее в Кротона, Пифагор создал школу религиозного и скрытного характера. Его последователи были получены только в том случае, если они согласились отказаться от всех своих вещей, пообещав есть только овощи и поклявшись не раскрывать учения, которые там преподавались, это знаменитая пифагорейская школа.
Оказалось, что если обозначить то, чего нет и рассматривать его формально, так, будто бы оно на самом деле есть, то это здорово упрощает математические расчеты. До введения понятия числа ноль и отрицательных чисел, математикам приходилось сильно извращаться при решении уравнений, чтобы избегать появления отрицательных чисел. Самая известная работа в Средние Века, посвященная этой проблеме, как при решении уравнений избегать отрицательных чисел, была написана узбекским математиком Аль-Хорезми (буквально переводится, как "из города Хорезм"). От его имени происходит термин "алгоритм". Сама работа называлась "Аль-Джебр" (переводится, как "Восстановление", то есть типа "методы восстановления положительных величин"). От названия этой работы происходит название науки "алгебра".
Пифагорейцы обнаружили существование числа, которое множится само по себе, приводит к двум. Это число имеет очень специфическое свойство: оно не является результатом деления любой пары целых чисел. Например, `5` является результатом деления один на два, четыре на восемь или пять на десять. Это означало серьезную неудачу для пифагорейской школы, которая постулировала не только цифры и математику как единственную приемлемую истину, но целые числа были источником всех вещей. Как могло быть, что Космос был обязан своим происхождением целым числам и их совершенству, если даже они не смогли оправдать существование корневого числа из двух?
Но целые числа оказались также не полным замкнутым набором чисел. В рамках одних только целых чисел невозможно выполнить все возможные операции деления. Например, при делении 1:2=?, мы не получаем целого числа.
Так возникает понятие дробных чисел. Дробные числа вместе с целыми числами образуют понятие рациональных чисел. В общем случае, определение рационального числа через целые число звучит так. Рациональное число всегда можно представить в виде m/n , где m и n это целые числа.
Узнав об этом, Пифагор и его ближайшие ученики решили скрыть свое открытие. Причина ясна: корень из двух был неопровержимым доказательством того, что его философские и духовные учения не были правильными. Но помимо этого пифагорейцы сделали одну из самых исключительных находок в истории чисел, они обнаружили иррациональные числа.
Это великое открытие значительно расширило нашу концепцию чисел, теперь были не только числа, чтобы считать или представлять частицу вещей, иррациональные явления появились и были представлены как великая загадка. Конечно, Пифагор не был единственным великим греческим математиком, такие имена, как Фалес из Милета, Евклида, Эратосфена или Архимеда, будут помнить за их вклад в развитие не только математики, но и человеческой мысли.
Исторически дробные числа были открыты раньше отрицательных чисел, хотя, по своей логике, дробные числа должны были появиться позже отрицательных.
Следующее расширение понятия числа возникло в связи с открытием иррациональных чисел. Иррациональные числа вместе с рациональными числами образуют, так называемые, вещественные числа или, по другому, реальные числа.
На протяжении всей истории людям всегда приходилось рассчитывать, выражать меркантильные операции и решать другие проблемы, возникшие в развитии математики. Мы проанализируем эволюцию разных множеств таким образом, чтобы каждый из них содержался в следующем. Однако эволюция этих чисел может со временем совпадать.
С начала человечества разные культуры использовали разные способы подсчета, используя камни, пазы на палочках и даже пальцы и пальцы ног. Нам нужно разложить множество и определить отрицательные числа таким образом. Эти цифры возникли из-за необходимости работать с отрицательными суммами, особенно в коммерческих операциях. Первыми, кто представил отрицательные числа, были индусы, в частности, Брахмагупта. Европа приходит в конце столетия.
Открытие иррациональных чисел приписывают Пифагору. Утверждается, что Пифагор открыл иррациональные числа случайно при изучении своей знаменитой теоремы о том, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Пифагор рассмотрел равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными единице. В таком треугольнике длина гипотенузы равна корню квадратному из двойки. Пифагору удалось доказать, что длина гипотенузы в таком треугольнике никак не может быть выражена никаким отношением целых чисел m/n . То есть, не существует два таких целых числа m и n , с помощью которых можно выразить длину гипотенузы, если длины катетов равны единице.
Необходимость разделить устройство приводит нас к определению фракций. Хотя вы работаете с ними с древних времен, но со сложными обозначениями. Вавилоняне начали использовать десятичную нотацию, разделив единицу на последовательные силы. Но именно арабы установили горизонтальный брусок для разделения числителя и знаменателя. Однако только после прибытия эпохи Возрождения, когда европейские математики воспользовались десятичной системой, определяли иррациональные числа как числа, имеющие бесконечные десятичные знаки.
Наконец, в качестве последнего препятствия мы обнаруживаем новую проблему: что происходит при решении уравнения второй степени или выше, мы получаем отрицательный квадратный корень? До тех пор это уравнение не имеет решения. Хотя они начали работать с этими числами, как если бы они были нормальными числами, поскольку они соответствовали ряду условий.
Это открытие на столько поразило Пифагора, что он долгое время держал его в тайне. Это открытие иррациональных чисел Пифагор сообщил только своим ученикам, взяв с каждого из них клятву на числе 36, что они никому не расскажут про это открытие. Число 36 считалось у пифагорейцев священным и магическим. 36=(1+3+5+7)+(2+4+6+8). Легенда утверждает, что один из его учеников нарушил эту клятву и обнародовал открытие иррациональных чисел. Разумеется, древнегреческие боги не прощают нарушения клятвы на священном числе 36. Поэтому этот ученик Пифагора утонул на корабле во время шторма.
Это фундаментальное понятие в математике, которое сложилось в долговременном историческом развитии. Происхождение и формулировка этого понятия происходили одновременно с возникновением, означающим рождение и развитие математики. Практическая деятельность человека, с одной стороны, и внутренние требования математики, с другой, определили развитие понятия числа. Необходимость подсчета объектов привела к появлению концепции натурального числа. Все народы, которые разработали формы письма, ввели понятие натурального числа и разработали систему подсчета.
Само доказательство иррациональности квадратного корня из двух очень простое и не выходит за рамки школьного курса математики.
Допустим, от противного, что квадратный корень из 2 можно представить в виде уже несократимой дроби, где m и n это целые числа. Тогда получается, что m^2=2n^2 , то есть m^2 всегда четное число, а значит и число m тоже всегда четное. Любое четное число можно представить, как m=2k , где k - целое число. Но тогда (2k)^2=2n^2 , то есть 2k^2=n^2 . Значит, получается, что и квадрат числа n тоже четное число и выходит, что и само число n тоже четное. Итак, получаем, что и m и n это четные числа, что противоречит начальному условию о том, что m/n это уже несократимая дробь, то есть одновременно m и n не могут быть четными.
Дальнейшее развитие концепции числа продолжалось в основном из-за самого развития математики. В Древнем Китае впервые появляются отрицательные числа. Китайцы привыкли рассчитывать с двумя коллекциями красных баров для положительных чисел и черными для отрицательных чисел. Однако они не согласились с идеей о том, что отрицательное число может быть решением уравнения. Индийские математики обнаружили отрицательные числа при попытке сформулировать алгоритм для квадратичных уравнений. Примером этого является вклад Брагомагупты, поскольку систематизированная арифметика отрицательных чисел впервые в его работе.
Самыми знаменитыми иррациональными числами в математике являются число π - отношение длины окружности к её диаметру и число e - основание натуральных логарифмов.
Между рациональными и иррациональными числами есть два принципиальных различия.
Первое различие. Если записать эти числа в виде десятичной дроби, то в рациональном числе Вы, в конце концов, увидите какую-нибудь периодически повторяющуюся последовательность цифр. Например:
- 5=5.0 0000000000...
- 6.88=6.880 0000000...
- 10/3=3.3 333333333...
- 456.6485327964 44444444...
- 0.65333352198743 98743987439874398743...
В иррациональном числе Вы не увидите никакой повторяющейся периодической последовательности цифр. Появление той или иной цифры в записи иррационального числа описывается вероятностными законами. Например, Ваш номер телефона или дату Вашего рождения можно встретить среди последовательности цифр иррационального числа, причем и номер Вашего телефона и дата Вашего рождения будут встречаться в записи числа неоднократно и существует некоторая вероятность выпадения, скажем, номера Вашего телефона на каждый миллион знаков.
В разных числах эта вероятность может быть разная. Чтобы это было понятнее, рассмотрим двоичную систему исчисления. В ней только две цифры "0" и "1". То есть любое иррациональное число записывается как случайная последовательность нулей и единиц. Однако, это совсем не означает, что нули и единицы в такой последовательности выпадают равновероятно, как, например, при подкидывании монетки. Понятно, что имеет полное право на существование и такое иррациональное число, у которого вероятность выпадения нуля, допустим, в пять раз меньше, чем вероятность обнаружить единицу в последовательности цифр в записи числа. Таким образом, спектр выпадения цифр в записи иррационального числа, в общем случае, не представляет собой классический белый шум. Но как частный случай, белый шум, конечно же, возможен.
Лично для меня всегда было загадкой, является ли спектр появления тех или иных цифр в записи иррационального числа стационарным спектром или же частота появления той или иной цифры меняется в зависимости от того, какую часть записи числа мы рассматриваем, скажем, первую тысячу цифр или сотую тысячу цифр. Точнее говоря, я почти уверен, что ничто не запрещает существованию "нестационарных" иррациональных чисел. Но вот чем отличаются свойства "стационарных" и "нестационарных" иррациональных чисел?
Второе различие. Все рациональные числа являются счетными. Другими словами, можно придумать алгоритм, как пересчитать все рациональные числа. Или, по другому, как упорядочить все рациональные числа так, чтобы каждому рациональному числу поставить в соответствие какое-нибудь единственное натуральное число. Это необычайно интересное свойство рациональных чисел, которое фактически говорит нам, что рациональных чисел столько же, сколько и натуральных чисел . Это парадоксальное утверждение. Ведь сначала, кажется, что рациональных чисел должно быть не просто гораздо больше, чем натуральных чисел, а в бесконечное число раз больше, чем натуральных чисел.
А вот вещественных чисел действительно больше, чем натуральных чисел в бесконечное число раз. Невозможно придумать способ сосчитать все вещественные числа с помощью натуральных чисел. Другими словами, если все рациональные числа взаимно однозначно отображаются на натуральные числа, то такое отображение всех вещественных чисел уже невозможно. На каждое натуральное число можно отобразить только бесконечно большое число вещественных чисел.
Увы, но и вещественные числа оказались также неполным замкнутым набором чисел. Оказалось, что в рамках вещественных чисел остается неопределенной операция извлечения квадратного корня из отрицательных чисел. Следующим расширением понятия числа является понятие комплексных чисел . Оказалось, что именно комплексные числа и являются самыми настоящими числами.
Число, важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие число изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количественного описания и исследования. На первых ступенях развития понятие число определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия число определяется потребностями этой науки.
Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал в общих чертах следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлечённого числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как, например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись различные словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавалось различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, т. е. выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и. т. д.
Источником возникновения понятия отвлечённого числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отвлечённым, не зависящим от качества считаемых объектов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших число стала использоваться новая идея -- обозначение некоторого определённого число (у большинства народов -- десяти) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.
С развитием письменности возможности воспроизведения числа значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших чисел. Вавилонские клинописные обозначения числа, так же, как и сохранившиеся до наших дней «римские цифры», ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначения для числа. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков - цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа закрепляется в форме слов (в устной речи) и в форме обозначения специальными знаками (в письменности).
С развитием понятия натурального числа как результата счёта предметов в обиход включаются действия над числами. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счёта равными частями (по два, по три и т.д.), деление -- как деление совокупности на равные части. Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о числе -- арифметики. В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств чисел как таковых, в уяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального числа, выделяются классы чётных и нечётных чисел, простых и составных и т.д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду числу продолжается и составляет раздел математики, носящий название чисел теория.
Натуральные числа, кроме основной функции -- характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию -- характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного числа (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).
Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа -- с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества было дано в 70-х гг. 19 в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному считаемых предметов и предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях -- пальцы рук и зарубки на палочке и т.д., на современном этапе -- слова и знаки, обозначающие числа). Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количеств. Число в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.
Другое обоснование понятия натурального числа базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано.
Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного числа необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Таким образом, широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного числа. В Индии ещё в 6--11 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.
В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного числа как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование, оказалось, по существу одинаковым.
Заключительный этап в развитии понятия число -- введение комплексных чисел. Источником возникновения понятия комплексного числа явилось развитие алгебры. По-видимому, впервые идея комплексного числа возникла у итальянских математиков 16 в. (Дж. Кардано, Р. Бомбелли) в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Известно, что уже решение квадратного уравнения иногда приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа, невыполнимому в области действительного числа. Но это происходит только в том случае, если уравнение не имеет действительных корней. Практическая задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, оказывается не имеющей решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось следующее обстоятельство. Как раз в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными числами, по ходу вычисления, оказывается, необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных числа. Возникающая при этом «мнимость» исчезает только по выполнении всех последующих действий. Это обстоятельство явилось первым стимулом к рассмотрению комплексных чисел. Однако комплексные числа и действия над ними с трудом прививались в деятельности математиков. Остатки недоверия к закономерности пользования ими отражаются в сохранившемся до наших дней термине «мнимое» число. Это недоверие рассеялось лишь после установления в конце 18 в. геометрического истолкования комплексных чисел в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных чисел в теории алгебраических уравнений, особенно после знаменитых работ К. Гаусса. Ещё до Гаусса, в работах Л. Эйлера, комплексные числа начинают играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Эта роль стала исключительно большой в 19 в. в связи с развитием теории функций комплексного переменного.
Наряду с основной линией развития понятия число (натуральные числа; рациональные числа; действительные числа; комплексные числа), специфические потребности некоторых областей математики вызвали различные обобщения понятия число в существенно других направлениях.
Так, в разделах математики, связанных с теорией множеств, важную роль играют упоминавшиеся выше понятия количественных и порядковых трансфинитных чисел. В современной теории числа получили большое значение. В алгебре изучаются различные системы объектов, обладающие свойствами, в большей или меньшей степени близкими к свойствам совокупности целых или рациональных чисел -- группы, кольца, поля, алгебры.