Аналитическое исследование систем массового обслуживания (СМО) является подходом, альтернативным имитационному моделированию, и состоит в получении формул для расчета выходных параметров СМО с последующей подстановкой значений аргументов в эти формулы в каждом отдельном эксперименте.
В моделях СМО рассматривают следующие объекты:
1) заявки на обслуживание (транзакты);
2) обслуживающие аппараты (ОА), или приборы.
Практическая задача теории массового обслуживания связана с исследованием операций этими объектами и состоит из отдельных элементов, на которые влияют случайные факторы.
В качестве примера задач, рассматриваемых в теории массового обслуживания, можно привести: согласование пропускной способности источника сообщения с каналом передачи данных, анализ оптимального потока городского транспорта, расчет емкости зала ожидания для пассажиров в аэропорту и пр.
Заявка может находиться либо в состоянии обслуживания, либо в состоянии ожидания обслуживания.
Обслуживающий прибор может быть либо занят обслуживанием, либо свободен.
Состояние СМО характеризуется совокупностью состояний обслуживающих приборов и заявок. Смена состояний в СМО называется – событие.
Модели СМО используются для исследования процессов происходящие в системе, при подаче на входы потоков заявок. Эти процессы представляют собой последовательность событий.
Важнейшие выходные параметры СМО
Производительность
Пропускная способность
Вероятность отказа в обслуживании
Среднее время обслуживания;
Коэффициент загрузки оборудования (ОА).
Заявками могут быть заказы на производство изделий, задачи, решаемые в вычислительной системе, клиенты в банках, грузы, поступающие на транспортировку и др. Очевидно, что параметры заявок, поступающих в систему, являются случайными величинами и при исследовании или проектировании могут быть известны лишь их законы распределения.
В связи с этим анализ функционирования на системном уровне, как правило, носит статистический характер. В качестве математического аппарата моделирования удобно принять теорию массового обслуживания, а в качестве моделей систем на этом уровне использовать системы массового обслуживания.
Простейшие модели СМО
В простейшем случае СМО представляет собой некоторое устройство, называемое обслуживающим аппаратом (ОА), с очередями заявок на входах.
М о д е л ьо б с л у ж и в а н и я с о т к а з а м и (рис.5.1)
Рис. 5.1. Модель СМО с отказами:
0 – источник заявок;
1 – обслуживающий прибор;
а – входной поток заявок на обслуживание;
в – выходной поток обслуженных заявок;
с – выходной поток необслуженных заявок.
В этой модели отсутствует накопитель заявок на входе ОА. Если заявка приходит от источника 0 в момент времени, когда ОА занят обслуживанием предыдущей заявки, то вновь пришедшая заявка выходит из системы (так как ей отказано в обслуживании) и теряется (поток с ).
М о д е л ь о б с л у ж и в а н и я с о ж и д а н и е м (рис. 5.2)
Рис. 5.2. Модель СМО с ожиданием
(N– 1) – количество заявок, которое может поместиться в накопителе
В этой модели имеется накопитель заявок на входе ОА. Если заявка приходит от источника 0 в момент времени, когда ОА занят обслуживанием предыдущей заявки, то вновь пришедшая заявка попадает в накопитель, где неограниченно долго ожидает, пока освободится ОА.
М о д е л ь о б с л у ж и в а н и я с о г р а н и ч е н н ы м в р е м е н е м
о ж и д а н и я (рис. 5.3)
Рис. 5.4. Многоканальная модель СМО с отказами:
n – количество одинаковых обслуживающих аппаратов (приборов)
В этой модели имеется не один ОА, а несколько. Заявки, если это специально не оговорено, могут поступать к любому свободному от обслуживания ОА. Накопителя нет, поэтому данная модель включает свойства модели, показанной на рис. 5.1: отказ в обслуживании заявки означает ее безвозвратную потерю (это происходит только в том случае, если в момент прихода этой заявки все ОА заняты).
в р е м е н е м о ж и д а н и я (рис. 5.5)
Рис. 5.6. Многоканальная модельСМО с ожиданием и восстановлением ОА:
e – обслуживающие аппараты, вышедшие из строя;
f – восстановленные обслуживающие аппараты
Данная модель обладает свойствами моделей, представленных на рис. 5.2 и 5.4, а кроме того свойствами, позволяющими учитывать возможные случайные отказы ОА, которые в этом случае поступают в ремонтный блок 2, где пребывают в течение случайных промежутков времени, затрачиваемых на их восстановление, а затем вновь возвращаются в обслуживающий блок 1.
М н о г о к а н а л ь н а я м о д е л ь СМО с о г р а н и ч е н н ы м
в р е м е н е м о ж и д а н и я и в о с с т а н о в л е н и е м ОА (рис. 5.7)
 |
Рис. 5.7. Многоканальная модель СМО с ограниченным временем ожидания и восстановлением ОА
Данная модель является довольно сложной, поскольку одновременно учитывает свойства двух не самых простых моделей (рис. 5.5 и 5.6).
Четвериков С. Ю. , Попов М.А.
Россия, Институт экономики и предпринимательства (г. Москва)
Теория систем массового обслуживания представляет собой прикладную математическую дисциплину, исследующую числовые характеристики явлений, протекающих в экономике. К ним можно отнести функционирование телефонного узла, центров бытового обслуживания, кассовых аппаратов в супермаркете и т.д.
Математическими моделями таких объектов служат системы массового обслуживания (СМО), описываемые следующим образом: в систему поступают требования (заявки на обслуживание), каждое из которых обслуживается некоторое время и затем покидает систему. Однако в силу ограничений на ресурсы (число обслуживающих кассовых аппаратов, скорости обслуживания и т.п.) система способна обслуживать одновременно только определенное число требований. Математические модели в этом случае призваны решать задачи вычисления числовых показателей качества функционирования СМО.
При построении моделей СМО принципиально выделяют две системы: детерминированную и стохастическую, которые собственно определяют тип математической модели.
Рассмотрим простейшую детерминированную систему, состоящую из п одинаковых приборов, в которую требования поступают через детерминированные (постоянные) промежутки времени, а время, обслуживания каждого требования также постоянно. Очевидно, что если требования поступают через промежутки
а время обслуживания каждого требования павно
то необходимое и достаточное условие нормального функционирования системы заключается в выполнении неравенства
В противном случае с течением времени требования будут накапливаться в системе.
Параметры X и ц имеют простой физический смысл:
X - среднее число поступающих за единицу времени требований или интенсивность входящего потока;
ц - среднее число требований, которое способен обслужить за единицу времени каждый прибор, или интенсивность обслуживания требований одним прибором;
/7ц - среднее число требований, которое способны обслужить п приборов, или интенсивность обслуживания требовании всей системой.
Таким образом, условие (1) означает, что интенсивность входящего потока не должна превышать интенсивности обслуживания требований всей системой. Рассмотрим величину
Так называемую загрузку системы.
Тогда неравенство (1) можно переписать в виде:
В этом случае загрузку можно интерпретировать как среднюю долю времени, в течение которого приборы заняты обслуживанием требований, а величину 1 - р - как среднюю долю времени, в течение которого приборы простаивают.
Наконец, еще одно замечание к функционированию системы с детерминированными характеристиками:
если в начальный момент времени система свободна и выполнено условие (2), то каждое поступающее в систему требование сразу же становится на обслуживающий прибор;
в случае р
наконец, если р > 1, то за единицу времени очередь в среднем увеличивается на Мр-1).
В реальных системах массового обслуживания существенную роль играют элементы случайности:
во-первых, времена между поступлениями требований не являются детерминированными;
во-вторых, не являются детерминированными времена обслуживания требований.
Кроме того, элементы случайности могут появляться из-за других причин, например, отказов элементов систем массового обслуживания.
Оказывается, элементы случайности существенно влияют на качество функционировании систем обслуживания. Так, если загрузка р = 1, то, в отличие от детерминированных систем, в стохастических системах очередь с течением времени в среднем стремится к бесконечности. Очереди в стохастических системах образуются даже в случае р
Рассмотрим формализованное описание СМО. Основными параметрами СМО являются:
входящий поток требований;
структура системы;
временные характеристики обслуживания требований;
дисциплина обслуживания.
Рассмотрим эти параметры.
Входящий поток характеризуется случайными моментами поступления требований в простую систему, а для сложных систем - и типами поступающих в эти моменты требований.
При задании случайного потока обычно предполагается, что входящий поток является рекуррентным и, наиболее часто пуассоновским.
Сделаем несколько замечаний о корректности описания поступающих в реальные системы потоков требований пуассоновским и рекуррентным. Очевидно, что уже свойство отсутствия последействия в реальных системах выполняется крайне редко, поскольку у обладающего таким свойством потока за любой сколь угодно малый промежуток времени может поступить сколь угодно большое число требований с отличной от нуля (хотя и чрезвычайно малой) вероятностью. Однако практика показывает, что описание входящего потока пуассоновским в большинстве случаев с достаточной степенью точности правомерно. Дополнительным математическим подтверждением этого факта служит теорема Хинчина, которая говорит, что объединение большого числа "редких" потоков при весьма слабых ограничениях дает пуассоновский поток.
Второе свойство пуассоновского потока - стационарность - также не выдергивает критики. В самом деле, интенсивность входящего потока, как правило, зависит от времени суток, года и т.п. Если сохранить свойства отсутствия последействия и ординарности, то получается нестационарный пуассоновский поток. В ряде случаев удается разработать математические модели расчета экономических систем с таким входящим потоком, однако получаемые при этом формулы очень громоздки и трудны для практического применения. По этой причине в расчетах ограничиваются некоторым временным интервалом, на котором интенсивность входящего потока мало меняется.
Если отказаться только от свойства ординарности, то получается неординарный пуассоновский поток, у которого моменты поступления требований образуют обычный пуассоновский поток, но в каждый такой момент приходит случайное число требований. Большинство результатов, справедливых для систем с пуассоновским потоком, практически без изменений переносится на системы с неординарным пуассоновским потоком.
Для задания структуры СМО необходимо перечислить все элементы, имеющиеся в системе, и указать, требования каких типов или даже на каких фазах обслуживания может обслуживать каждый элемент. При этом отдельный элемент может обслуживать требования нескольких типов и, наоборот, требования одного типа могут обслуживаться на нескольких элемента. В дальнейшем будем предполагать, что в СМО имеется один или несколько одинаковых элементов и каждое требование может обслуживаться на любом из них. Системы такого типа называются однолинейными (один элемент) или многолинейными (несколько элементов).
В системах обслуживания могут быть элементы для ожидания требованиями начала обслуживания. Если таких элементов бесконечно много, то говорят о системах с ожиданием, если их число конечно - о системах с конечным числом мест ожидания, если же они вообще отсутствуют (требование, заставшее в момент поступления в систему все элементы занятыми, теряется; пример - обычные телефонные системы) - о системах с потерями.
Временные характеристики обслуживания требований также представляют собой сложный объект для формализованного описания. Обычно предполагается, что времена обслуживания всех требований независимые между собой и являются одинаково распределенными случайными величинами. Если в СМО поступают требования нескольких типов, распределение времени обслуживания может зависеть от типа требования.
Дисциплина обслуживания заключается в правиле постановки требований в очередь и порядке выбора их из очереди на обслуживание, распределении элементов между требованиями, а в многофазных системах - и между фазами обслуживания. Будем предполагать, что в системе реализована простейшая дисциплина - обслуживание требование в порядке поступления (FIFO). В многолинейных системах образуется общая очередь ко всем элементам, и находящийся первый в очереди требование поступает на любой освободившийся элемент.
Тем не менее, в СМО используются и более сложные дисциплины обслуживания. Простейшими примерами таких дисциплин являются инверсионный (обратный) порядок обслуживания (LIFO), при котором обслуживается требование, поступившее в систему последним.
Дисциплина равномерного разделения элементов системы, при которой каждое из п находящихся в системе требований обслуживается с одинаковой скоростью 1/п. Иногда в момент поступления требования в систему становится известно время его обслуживания (работа, которую предстоит совершить). Тогда можно использовать дисциплины, зависящие от остаточных времен обслуживания требований. В частности, дисциплина обслуживания первым требования с минимальным остаточным временем обслуживания позволяет получить минимальную длину очереди в любой момент времени. Применение сложных дисциплин обслуживания очень часто позволяет без каких- либо дополнительных затрат существенно улучшить качество функционирования СМО.
Особый класс СМО представляют собой приоритетные системы, в которые поступают потоки требований нескольких приоритетов, и требования более высоких приоритетов имеют преимущество перед требованиями более низких приоритетов, т.е. обслуживаются раньше. Приоритеты могут быть относительными, когда требования более высокого приоритета не прерывают обслуживания находящихся на элементах требований более низких приоритетов, и абсолютные, когда такое прерывание происходит.
В случае абсолютных приоритетов также возможны различные модификации: недообслуженные требования с прерванным обслуживанием покидают системы (системы с выбыванием), продолжают обслуживаться после того, как все требования более высоких приоритетов покинут систему (системы с дообслуживанием), обслуживаются заново.
К дисциплинам обслуживания следует отнести и такие факторы, как подготовительный этап перед началом обслуживания очередного требования или после того, как в свободную систему поступило требование, этап переключения элемента на обслуживание требований другого типа, обслуживание требований ненадежными элементами системы и т.п. Наконец, может быть ограничено время пребывания требования в системе или время ожидания начала обслуживания.
Опишем теперь те характеристики СМО, которые представляют интерес для пользователя. Иногда на практике их называют вероятностно-временными характеристиками. Наиболее важными из них являются длина очереди (т.е. число ожидающих начала обслуживания требований) и время ожидания начала обслуживания требования. Поскольку и длина очереди, и время ожидания начала обслуживания - случайные величины, то, естественно, они описываются своими распределениями. Кроме того, распределения длины очереди и времени ожидания зависят от текущего момента времени.
В системах с потерями или конечным числом мест ожидания к важнейшим характеристикам относится также вероятность потери требования. Иногда наряду с длиной очереди рассматривают общее число требований в системе, а наряду с временем ожидания начала обслуживания - время пребывания требования в системе.
В системах с потерями или конечным числом мест ожидания, а также в системах с ожиданием и загрузкой р
Нахождению стационарных характеристик посвящено большинство работ по теории массового обслуживания, хотя и нестационарные характеристики исследованы достаточно подробно.
Литература
- 1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Физматгиз, 1961.
- 2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.T.I. М.: Мир,
- 1984.
- 3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966.
- 4. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Сов. радио, 1965.
Основы математического моделирования
социально-экономических процессов
Лекция 3
Тема лекции: «Модели систем массового обслуживания»
1. Модели организационных структур управления (ОСУ).
2. Системы и модели массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания (СМО).
3.Модели СМО. Показатели качества функционирования СМО.
- МОДЕЛИ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СТРУКТУР УПРАВЛЕНИЯ (ОСУ).
Многие экономические задачи связаны с системами мас-сового обслуживания (СМО), т. е. с такими системами, в кото-рых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требо-вания) на выполнение каких-либо услуг, с другой — проис-ходит удовлетворение этих запросов.
СМО включает в себя следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающие устройства (каналы обслуживания), выходящий поток требований. Исследованием таких систем занимается теория массового обслуживания (ТМО).
Методами теории массового обслуживания (ТМО) могут быть решены многие задачи исследования процессов, происходящих в экономике. Так, в организации торговли эти методы позволяют определить оптимальное количество торговых то- чек данного профиля, численность продавцов, частоту завоза товаров и другие параметры. Другим характерным примером систем массового обслуживания могут служить склады или базы снабженческо-сбытовых организаций. И задача тео-рии массового обслуживания в данном случае сводится к тому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом поступающих на базу требований на обслуживание и числом обслуживающих устройств, при котором суммар-ные расходы на обслуживание и убытки от простоя транс-порта были бы минимальными. Теория массового обслужи-вания может найти применение и при расчете площади складских помещений, при этом складская площадь рас-сматривается как обслуживающее устройство, а прибытие транспортных средств под выгрузку — как требование.
Модели теории массового обслуживания применяются также при решении ряда задач организации и нормирования труда, других социально-экономических проблем. Переход к рынку требует от всех субъектов хозяйствования повышенной надежности и эффективности функционирования производств, гибкости и живучести в ответ на динамичные изменения внешней деловой среды, снижения разновидностей рисков и потерь от запоздалых и некомпетентных управленческих решений.
СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО) ЯВЛЯЮТСЯ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ МОДЕЛЯМИ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СТРУКТУР УПРАВЛЕНИЯ (ОСУ).
ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ СТРУКТУРЫ УПРАВЛЕНИЯ (ОСУ) призваны оперативно отслеживать колебания рынка и принимать в зависимости от складывающихся ситуаций компетентные управленческие решения.
Поэтому становится понятным то внимание, которое уделяют субъекты рынка (транснациональные корпорации, промышленные предприятия, коммерческие банки, фирмы, организации, малые предприятия и т.п.) выбору эффективно функционирующих организационных структур управления (ОСУ).
Взамен широко распространенных в 90-х годах двадцатого столетия ОСУ предприятий (иерархических, матричных, дуальных, параллельных и др.) сегодня в мире эффективно используются АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ФОРМЫ МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СТРУКТУР, базирующихся на принципах самоорганизации, адаптации, автономности отдельных подразделений с мягкими связями между ними .
Подобной структурой обладает множество передовых зарубежных фирм, в составе которых насчитывается множество рабочих групп с сетевыми взаимоотношениями между ними. Популярными в последнее время считаются организации, ориентированные на минимизацию потребления ресурсов, имеющие явно выраженную горизонтальную форму с координацией, осуществляемой не по иерархическому признаку, а самими рабочими группами, организованными в сеть.
Альтернативными моделями, противостоящими моделям ОСУ, созданным на базе организационной логики и жесткого регулирования, являются нечеткие структуры без иерархических уровней и структурных подразделений , основанные на координации личной ответственности и профилировании самоуправляемых групп со следующими признаками:
а) наличием относительно независимых рабочих групп с участием представителей различных подразделений, создаваемых для решения определенных проектов и проблем, при широкой свободе действий и автономии в области координации задач и принятия решений;
б) ликвидацией жестких связей между подразделениями ОСУ с введением гибких взаимосвязей.
На аналогичных принципах базируется современная концепция минимизированного по ресурсам производства: на подобных предприятиях в качестве организационных единиц используют рабочие группы с широкими полномочиями и большими возможностями самоуправления с конечной целью, заключающейся в создании разумной гибкой организации труда, опирающейся на самостоятельно действующих исполнителей, а не на синтезированные специалистами рациональные структуры; сотрудниками оцениваются возникающие проблемы, определяются возможности контактов со специалистами внутри и за пределами системы. Самоуправляемый персонал основной упор делает на самоорганизацию, заменяющую собой привнесенную извне (задаваемую сверху) жесткую упорядоченную структуру.
Крайним случаем такого подхода является создание безорганизационной, постоянно «размороженной», структуры со следующими свойствами:
Широкое творческое обсуждение любых обрабатываемых процедур и поступающих извне сигналов без учета шаблонных решений и прошлого опыта;
Автономная работа членов групп с самостоятельной организацией временных взаимосвязей и производственных соглашений между партнерами по мере необходимости для решения возникающих проблем.
Заметим, что чрезмерное увлечение одной системной функцией — гибкостью, при полном игнорировании прочих функций — интеграции, идентификации, учета и контроля, всегда опасно для устойчиво функционирующих систем, так как трудно обеспечить успешную координацию в рамках данной организации без высокой квалификации сотрудников, их способности к обучению и совершенствованию, к установлению эффективных контактов и координации.При подобной форме организации основное внимание должно уделяться созданию условий для максимального использования интеллекта человеческих ресурсов и повышения их квалификации, выделению высококвалифицированных специалистов — системщиков, увязывающих действия членов организации для достижения конечной цели. При этом в сфере системной координации существует вероятность возможных срывов, конфликтов и негативных последствий, так как ориентация на способность персонала к самоорганизации и самокоординации носит слишком общий характер. Хотя высокая компетентность, инициатива и сила воли каждого работника и влияет на жизнеспособность любой децентрализованной организации, но в целом они не могут заменить регулирующей функции целой организационной структуры.
Сегодня в мире интенсивно развивается новое направление синтеза ОСУ как обучающихся систем, характеризующихся следующими характерными особенностями:
а) привлечением высококвалифицированных экспертов-специалистов к процессам восприятия и накопления информации, а также к обучению и расширению способностей персонала;
б) постоянным изменением в процессе функционирования, расширением своих способностей взаимодействия с окружающей деловой средой и быстрой адаптацией к постоянно меняющимся внешним и внутренним условиям;
в) широким распространением открытых компьютерных сетей, охватывающих не только отдельные организации, предприятия или их конгломераты, но и целые крупные регионы и даже совокупности стран (ЕЭС, СВИФТ и др.), что обусловливает новые возможности организации и повышения эффективности работы предприятий и отраслей в масштабах всей страны и даже всего мира.
Считается, что ОСУ должна создаваться на принципах многофункциональности и многоаспектности, позволяющих эффективно контролировать сложные рынки и распределять имеющиеся ресурсы. Из анализа мирового опыта функционирования ОСУ в условиях рынка применительно к российской экономике и ее субъектам хозяйствования можно выделить следующие рекомендации:
1) иерархическую ОСУ можно сохранять и применять с минимумом риска для предприятия, если высшее руководство фирмы способно выступать в качестве координаторов проблем, а их подчиненные — в качестве «маленьких предпринимателей»; при этом предпринимательская инициатива и ответственность перемещаются с верхних в нижние эшелоны фирменной власти при исполнении иерархами действительно координаторских функций;
2) матричную ОСУ можно сохранять, если в фирме отсутствует механическое дублирование служебных инстанций и существует органичная сетевая структура с оптимальной коммуникацией;
3) дуальную ОСУ следует применять при ясности и контролируемости как ключевых связей между основными и сопутствующими структурами, так и прозрачности функций самой системы сопутствующих вторичных структур, причем они должны быть многофункциональными и многоцелевыми (типа «учебных центров»), а не специализированными, ориентированными лишь на собственные потребности;
4) параллельную ОСУ следует применять при сформированной конструктивной конкурентной культуре, сотрудничестве партнеров на базе доверия, терпимости, готовности разрешать конфликты, а в острых ситуациях иметь нейтральную «третейскую» инстанцию.
При наличии средних предприятий, состоящих из слабо интегрированных функциональных подразделений, на вторичные структуры можно возложить решение интеграционных проблем, но эффект от реализации этого механизма получится при осознании руководством подразделений создания структурной надстройки как средства поддержки их собственной позиции, а не как угрозу для их существования.
Развитие на стыке кибернетики, вычислительных сетей, менеджмента и социальной психологии направления Groupware (США), связанного с электронными информационными системами, локальными диалоговыми сетями и средствами их поддержки, обеспечивает распределенную работу больших коллективов людей в режиме прямого доступа, позволяя хранить в машинной памяти огромный объем информации (любую деловую, производственно-техническую и прочую документацию, совещания, переговоры организации и даже обычные разговоры ее сотрудников, а также всю предысторию и опыт работы), используя ее при необходимости для корректировки структуры, функций, задач, стратегии и тактики управления в деятельности конкретной организации. Такой подход по-новому раскрывает понятие обучающейся организации, обеспечивает проведение аналогий между процессами, протекающими в живых и в диалоговых компьютерных системах.
Если обучение и память обусловливают выживание живых систем, то аналогично организационное обучение и память влияют на эффективность деятельности любой организации при изменении деловой внешней среды. Обучение, как живых, так и организационных систем обязательно ведет к структурным изменениям. Организационно правильно построенная компьютерная сеть может вызывать качественный сдвиг в улучшении корпоративной деятельности. Гибкость и широта функциональных возможностей рабочих групп, реализующих управление проектами при минимуме затрат на координацию их работы, обусловливают рост и качество исполнения крупных задач, стоящих перед фирмами, необходимость оптимизации функциональных подразделений и организационных структур в целом, изменения связей между функциональными единицами в зависимости от складывающихся ситуаций.
Качество реструктуризации в живых и организационных системах определяется совокупностью унаследованного и приобретенного поведения, эффективностью обучения и памяти, организации инфраструктур, обеспечивающих совершенствование взаимосвязей и диалогов между людьми. Повышение скорости обучения и эффективности памяти организации зависит от способа управления взаимоотношениями и диалогами между людьми. Сегодня коммуникации — это координация действий, а не передача информации. Организационные инфраструктуры должны расширять возможности формирования и поддержки диалогов между людьми независимо от их традиций, культуры и др. Пример тому организация и распространение сети Internet и ей подобных.
Учет специфики моделей разновидностей СМО в практической деятельности субъектов рынка позволяет:
Провести более глубокий анализ особенностей функционирования сложных систем, оценить их качество и эффективность с получением конкретных количественных оценок;
Вскрыть имеющиеся резервы и возможности по оптимизации протекающих процессов, экономии финансовых и прочих ресурсов, снижению рисков в условиях неопределенности деловой внешней и внутренней среды.
Рассмотрим эти вопросы подробнее.
2. СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО).
Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского уче-ного А. К. Эрланга (1878—1929), с его трудами в области проекти-рования и эксплуатации телефонных станций.
Теория массового обслуживания - область прикладной мате-матики, занимающаяся анализом процессов в системах произ-водства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и пере-дачи информации; автоматических линиях производства и др.
Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров, Е. С. Вентцель и др.
Предметом теории массового обслуживания является установ-ление зависимостей между характером потока заявок, числом ка-налов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум сум-марных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ре-сурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.
Задачи организации массового обслуживания возникают практически во всех сферах человеческой деятельности, напри-мер обслуживание продавцами покупателей в магазинах, обслу-живание посетителей на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслужива-ния, обеспечение телефонных разговоров на телефонной стан-ции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникает необходимость в удовлетворении запросов большого числа потребителей.
Перечисленные задачи можно успешно решать с помощью методов и моделей специально созданной для этих целей теории массового обслуживания (ТМО). В этой теории поясняется, что обслуживать необходимо кого-либо или что-либо, что определяется понятием «заявка (требование) на обслуживание», а опера-ции обслуживания выполняются кем-либо или чем-либо, назы-ваемыми каналами (узлами) обслуживания.
Заявки в силу массовости поступления на обслуживание об-разуют потоки, которые до выполнения операций обслужива-ния называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки об-служивания в каналах, а затем формируется выходящий поток заявок. В целом совокупность элементов входящего потока за-явок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока за-явок образует простейшую систему массового обслуживания — СМО.
Одним из параметров входного потока заявок является интенсивность входящего потока заявок λ ;
К параметрам каналов обслуживания заявок относятся: интенсивность обслуживания μ , число каналов обслуживания n .
Параметрами очереди являются: максимальное число мест в очереди L max ; дисциплина очереди D («первым пришел - первым ушел» (FIFO); «последним пришел - первым ушел» (LIFO); с приоритетами; случайный выбор из очереди).
Процедура обслуживания считается завершенной, когда заяв-ка на обслуживание покидает систему. Продолжительность ин-тервала времени, требуемого для реализации процедуры обслу-живания, зависит в основном от характера запроса заявки на об-служивание, состояния самой обслуживающей системы и канала обслуживания.
Действительно, например, продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с одной стороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортимента товаров, который он собирается приобрести, а с другой — от формы организации об-служивания и обслуживающего персонала, что может значитель-но повлиять на время пребывания покупателя в супермаркете и интенсивность обслуживания.
Под обслуживанием заявок мы будем понимать процесс удовле-творения потребности. Обслуживание имеет различный характер по своей природе. Однако во всех примерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого-либо устройства.
В некоторых случаях обслуживание производится одним челове-ком (обслуживание покупателя одним продавцом), в некоторых — группой людей (обслуживание клиента в ресторане), а в некоторых случаях — техническими устройст-вами (продажа газированной воды, бутербродов автоматами).
Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание за-явок, называется каналом обслуживания.
Если каналы обслуживания способны удовлетворить одина-ковые заявки, то каналы обслуживания называются однородны-ми.
Совокупность однородных каналов обслуживания называет-ся обслуживающей системой.
В систему массового обслуживания поступает большое коли-чество заявок в случайные моменты времени, длительность обслу-живания которых также является случайной величиной. Последо-вательное поступление заявок в систему обслуживания называет-ся входящим потоком заявок , а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания, — выходящим потоком .
Если максимальная длина очереди L max = 0 , то СМО является системой без очередей.
Если L max = N 0 , где N 0 >0 - некоторое положительное число, то СМО является системой с ограниченной очередью.
Если L max → ∞, то СМО является системой с бесконечной очередью.
Случайный характер распределения длительности выполне-ния операций обслуживания, наряду со случайным характером поступления требований на обслуживание, приводит к тому, что в каналах обслуживания протекает случайный процесс, который может быть назван (по аналогии с входным потоком заявок) потоком обслуживания заявок или просто потоком обслуживания .
Заметим, что заявки, поступающие в систему обслуживания, могут покинуть ее и будучи не обслуженными. Например, если покупатель не найдет в магазине нужный товар, то он покидает магазин, будучи не обслуженным. Покупатель может покинуть магазин также, если нужный товар имеется, но большая очередь, а покупатель не располагает временем.
Теория массового обслуживания занимается изучением про-цессов, связанных с массовым обслуживанием, разработкой ме-тодов решения типичных задач массового обслуживания.
При исследовании эффективности работы системы обслужи-вания важную роль играют различные способы расположения в системе каналов обслуживания.
При параллельном расположении каналов обслуживания тре-бование может быть обслужено любым свободным каналом.
Примером такой системы обслуживания является расчетный узел в магазинах самообслуживания, где число каналов обслужи-вания совпадает с числом кассиров-контролеров.
На практике часто обслуживание одной заявки осуществля-ется последовательно несколькими каналами обслуживания .
При этом очередной канал обслуживания начинает работу по обслуживанию заявки после того, как предыдущий канал закончил свою работу. В таких системах процесс обслуживания носит многофазовый характер , обслуживание заявки одним каналом называется фазой обслуживания . Например, если в магазине са-мообслуживания имеются отделы с продавцами, то покупатели сначала обслуживаются продавцами, а потом уже кассирами-контролерами.
Организация системы обслуживания зависит от воли челове-ка. Под качеством функционирования системы в теории массо-вого обслуживания понимают не то, насколько хорошо выполне-но обслуживание, а то, насколько полно загружена система об-служивания, не простаивают ли каналы обслуживания, не образуется ли очередь .
Работу системы обслуживания характеризуют такие показате-ли, как время ожидания начала обслуживания, длина очереди, возможность получения отказа в обслуживании, возможность простоя каналов обслуживания, стоимость обслуживания и в ко-нечном итоге удовлетворение качеством обслуживания.
Чтобы улучшить качество функционирования системы об-служивания, необходимо определить, каким образом распреде-лить поступающие заявки между каналами обслуживания, какое количество каналов обслуживания необходимо иметь, как распо-ложить или сгруппировать каналы обслуживания или обслужива-ющие аппараты для улучшения показателей. Для решения перечисленных задач существует эффек-тивный метод моделирования, включающий и объединяющий достижения разных наук, в том числе математики.
Потоки событий.
Переходы СМО из одного состояния в другое происходят под воздействием вполне определенных событий — поступле-ния заявок и их обслуживания. Последовательность появления событий, следующих одно за другим в случайные моменты вре-мени, формирует так называемый поток событий .
Примерами таких потоков являются потоки различной природы — потоки товаров, денег, документов; транспортные потоки; потоки клиентов, покупателей; потоки телефонных звонков, переговоров и др. По-ведение системы обычно определяется не одним, а сразу не-сколькими потоками событий. Например, обслуживание поку-пателей в магазине определяется потоком покупателей и пото-ком обслуживания; в этих потоках случайными являются моменты появления покупателей, время ожидания в очереди и время, затрачиваемое на обслуживание каждого покупателя.
При этом основной характерной чертой потоков является веро-ятностное распределение времени между соседними события-ми. Существуют различные потоки, которые отличаются свои-ми характеристиками.
Поток событий называется регулярным , если в нем события следуют одно за другим через заранее заданные и строго опреде-ленные промежутки времени. Такой поток является идеальным и очень редко встречается на практике. Чаще встречаются нерегу-лярные потоки, не обладающие свойством регулярности.
Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания любого числа событий на промежуток времени зави-сит только от длины этого промежутка и не зависит от того, как далеко расположен этот промежуток от начала отсчета времени.
То есть стационарным называется поток , для которого математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени (обозначим λ), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определен-ного количества требований в течение заданного промежутка времени?t зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.
Стационарность потока означает независимость от времени его вероятностных характеристик; в частности, интенсивность тако-го потока есть среднее число событий в единицу времени и оста-ется величиной постоянной. На практике обычно потоки могут считаться стационарными только на некотором ограниченном промежутке времени. Обычно поток покупателей, например, в магазине существенно меняется в течение рабочего дня. Однако можно выделить определенные временные интервалы, внутри которых этот поток допустимо рассматривать как стационарный, имеющий постоянную интенсивность.
Отсутствие последействия означает, что число требова-ний, поступивших в систему до момента t, не определяет того, сколько требований поступит в систему за промежуток вре-мени от t до t+?t.
Например, если на ткацком станке в данный момент произошел обрыв нити, и он устранен ткачихой, то это не оп-ределяет, произойдет новый обрыв на данном станке в следующий момент или нет, тем более это не влияет на веро-ятность возникновения обрыва на других станках.
Поток событий называется потоком без последствия , если число событий, попадающих на один из произвольно выбран-ных промежутков времени, не зависит от числа событий, попавших на другой, также произвольно выбранный промежуток, при условии, что эти промежутки не пересекаются между собой.
В потоке без последствия события появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток покупателей, входящих в магазин, можно считать потоком без последствия потому, что причины, обусловившие приход каждо-го из них, не связаны с аналогичными причинами для других по-купателей.
Поток событий называется ординарным , если вероятность по-падания на очень малый отрезок времени сразу двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попа-дания только одного события.
Другими словами, ординарность потока означает практическую невозмож-ность одновременного поступления двух и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что из группы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно выйдут из строя сразу несколько станков. В ординарном потоке события происходят поодиночке, а не по два (или более) сразу.
Если поток одновременно обладает свойствами стационарнос-ти, ординарности и отсутствием последствия , то такой поток назы-вается простейшим (или пуассоновским) потоком событий .
Мате-матическое описание воздействия такого потока на системы ока-зывается наиболее простым. Поэтому, в частности, простейший поток играет среди других существующих потоков особую роль.
Методы и модели, применяющиеся в теории массового обслуживания (ТМО), можно условно разделить на АНАЛИТИЧЕСКИЕ и ИМИТАЦИОННЫЕ.
Аналитические методы теории массового обслуживания позволяют получить характеристики системы как некото-рые функции параметров ее функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО.
Имитационные методы основаны на моделировании процес-сов массового обслуживания на ЭВМ и применяются, если невозможно применение аналитических моделей.
В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения та-ких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований является простейшим (пуассоновским).
Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность по-ступления за время t ровно k требований задается формулой:
Важная характеристика СМО — время обслуживания требований в системе.
Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной и, следователь-но, может быть описано законом распределения.
Наибольшее распространение в теории и особенно в практических прило-жениях получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания . Функция распределения для этого закона имеет вид:
F(t) = 1 - e - μ t , (2)
т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосхо-дит некоторой величины t, определяется формулой (2), где μ — параметр экспоненциального закона распределения времени обслуживания требований в системе. То есть μ - это величина, обратная среднему времени обслуживания ? o6 . :
μ = 1/ ? o6 . (3)
Кроме понятия простейшего потока событий часто приходит-ся пользоваться понятиями потоков других типов.
Поток собы-тий называется потоком Пальма , когда в этом потоке промежутки времени между последовательными событиями T1, T2, ..., Тn являются независимыми, одинаково распределенными, слу-чайными величинами, но в отличие от простейшего потока необязательно распределенными по показательному закону.
Про-стейший поток является частным случаем потока Пальма.
Важным частным случаем потока Пальма является так назы-ваемый поток Эрланга . Этот поток получается «прореживанием» простейшего потока. Такое «прореживание» производится путем отбора по определенному правилу событий из простейшего пото-ка. Например, условившись учитывать только каждое второе со-бытие из образующих простейший поток, мы получим поток Эрланга второго порядка. Если брать только каждое третье событие, то образуется поток Эрланга третьего порядка и т.д. Можно полу-чить потоки Эрланга любого k-го порядка. Очевидно, простей-ший поток есть поток Эрланга первого порядка.
КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.
Любое исследование системы массового обслуживания (СМО) начи-нается с изучения того, что необходимо обслуживать, следова-тельно, с изучения входящего потока заявок и его характеристик.
1. В зависимости от условий ожидания начала обслуживания различают:
СМО с потерями (отказами),
СМО с ожиданием.
В СМО с отказами требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и теряются. Классическим примером системы с отказами явля-ется телефонная станция. Если вызываемый абонент занят, то требование на соединение с ним получает отказ и теряется.
В СМО с ожиданием требование, застав все обслуживаю-щие каналы занятыми, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из обслуживающих каналов.
СМО, допускающие очередь, но с ограниченным числом требований в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди .
СМО, допускающие очередь , но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются систе-мами с ограниченным временем ожидания.
2. По числу каналов обслуживания СМО делятся на
- одноканальные ;
- многоканальные .
3. По месту нахождения источника требований
СМО делятся на:
- разомкнутые , когда источник требования находится вне системы;
- замкнутые , когда источник находится в самой системе.
Примером разомкнутой системы может служить мастерская по обслуживанию и ремонту бытовой техники. Здесь неисправные устройства — это источник требований на их обслуживание, находятся вне самой системы, число требований можно считать неограни-ченным.
К замкнутым СМО относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, и, следовательно, источником требований на их обслу-живание , например, бригадой наладчиков.
Возможны и другие признаки классификации СМО, на-пример, по дисциплине обслуживания , однофазные и многофазные СМО и др.
3. МОДЕЛИ СМО. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СМО.
Рассмотрим аналитические модели наиболее распростра-ненных СМО с ожиданием, т.е. таких СМО, в которых требо-вания, поступившие в момент, когда все обслуживающие ка-налы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.
ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СОСТОИТ В СЛЕДУЮЩЕМ.
Система имеет n обслуживающих каналов , каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование.
В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром λ .
Если в момент поступления оче-редного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.
Время обслуживания каждого требования t об. — случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному за-кону распределения с параметром μ .
СМО С ОЖИДАНИЕМ МОЖНО РАЗБИТЬ НА ДВЕ БОЛЬШИЕ ГРУППЫ: ЗАМКНУТЫЕ И РАЗОМКНУТЫЕ.
К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен .
Например, мастер, задачей кото-рого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится потенциальным источником требований на накладку. В по-добных системах общее число циркулирующих требования конечно и чаще всего постоянно.
Если питающий источник обладает бесконечным числом требований , то системы называются разомкнутыми.
Приме-рами подобных систем могут служить магазины, кассы вокза-лов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требо-ваний можно считать неограниченным.
Отмеченные особенности функционирования систем этих двух видов накладывают определенные условия на исполь-зуемый математический аппарат. Расчет характеристик работы СМО различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний СМО (так называемые фор-мулы Эрланга ).
- 1. РАЗОМКНУТАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ.
Рассмотрим алгоритмы расчета показателей качества функционирования разомкнутой СМО с ожиданием.
При изучении таких систем рассчитывают различные по-казатели эффективности обслуживающей системы. В каче-стве основных показателей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заняты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очереди), коэффициенты за-нятости и простоя каналов обслуживания и др.
Введем в рассмотрение параметр α = λ/μ . Заметим, что если выполняется неравенство α / n < 1, то очередь не может расти безгранично.
Это условие имеет следующий смысл: λ — среднее число требо-ваний, поступающих за единицу времени , 1/μ — среднее время обслуживания одним каналом одного требования, тогда α = λ (1/ μ) — среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступаю-щие требования. Тогда μ - среднее число требований, обслуживаемых одним каналом за единицу времени.
Поэтому условие: α / n < 1, означает, что чис-ло обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования .
ВАЖНЕЙ-ШИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАБОТЫ СМО (для разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием ):
1. Вероятность P 0 того, что все обслуживающие каналы сво-бодны:
2. Вероятность P k того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находя-щихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов, то есть при 1 ≤ k ≤ n :
3. Вероятность P k того, что в системе находится k требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов, то есть при k > n :
4. Вероятность Pn того, что все обслуживающие каналы заняты:
5. Среднее время ожидания требованием начала обслу-живания в системе:
6. Средняя длина очереди:
7. Среднее число свободных от обслуживания каналов:
8. Коэффициент простоя каналов:
9. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
10. Коэффициент загрузки каналов
Фирма по обслуживанию и ремонту бытовой техники и электроники имеет филиал: мастерскую по ремонту мобильных телефонов, в которой работает n = 5 опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт λ =10 мобильных телефонов. Общее число мобильных телефонов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико, и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть основания считать, что поток заявок на ремонт ап-паратуры является случайным, пуассоновским. В свою оче-редь каждый мобильный телефон в зависимости от характера неисправ-ности также требует различного случайного времени на ре-монт. Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности полученного повреждения, квалификации мас-тера и множества других причин. Пусть статистика показа-ла, что время ремонта подчиняется экспоненциальному за-кону; при этом в среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать μ = 2,5 мобильных телефона.
Требуется оценить работу филиала фирмы по ремонту -бытовой техники и электроники, рассчитав ряд основных характеристик данной СМО.
За единицу времени принимаем 1 рабочий день (7 часов).
1. Определим параметр
α = λ / μ = 10/ 2,5 = 4.
Так как α < n = 5, то можно сделать вывод: очередь не может расти безгранично.
2. Вероятность P 0 того, что все мастера свободны от ремонта аппаратуры, равна согласно (4):
P0 = (1 + 4 + 16/2 + 64/3! + 256/4! + 1024/5!(1- 4/5)) -1 = (77) -1 ≈ 0,013.
3. Вероятность P5 того, что все мастера заняты ремонтом, находим по формуле (7) (Pn при n=5):
P5 = P0 1024 /5! (1-4/5) = P0 256 /6 ≈ 0,554.
Это означает, что 55,4% времени мастера полностью за-гружены работой.
4. Среднее время обслуживания (ремонта) одного аппарата согласно формуле (3):
? o6. = 1/ μ = 7/2,5 = 2,8 ч./аппарат (важно: единица времени - 1 рабочий день, т. е. 7 часов).
5. В среднем время ожидания каждого неисправного мобильного телефона начала ремонта равно по формуле (8):
Ож. = Pn/(μ (n-α)) = 0,554 2,8/(5 - 4) =1,55 часа.
6. Очень важной характеристикой является средняя длина очереди, которая определяет необходимое место для хранения аппаратуры, требующей ремонта; находим ее по формуле (9):
Оч. = 4 P5/ (5-4) ≈ 2,2 моб. телефона.
7. Определим среднее число мастеров, свободных от ра-боты, по формуле (10):
Ñ0 = P0 (5 + 16 + 24+ 64/3 + 32/3) = P0 77 ≈ 1 мастер.
Таким образом, в среднем в течение рабочего дня ремонтом заняты четыре мастера из пяти.
- 2. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.
Перейдем к рассмотрению алгоритмов расчета характери-стик функционирования замкнутых СМО.
Поскольку система замкнутая, то к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе обслуживания одновременно не может находиться больше m требований (m — число обслуживаемых объектов).
За критерий, характеризующий качество функциониро-вания рассматриваемой системы, выберем отношение средней длины очереди к наибольшему числу требований, находя-щихся одновременно в обслуживающей системе — коэффици-ент простоя обслуживаемого объекта .
В качестве другого критерия возьмем отношение среднего числа незанятых об-служивающих каналов к их общему числу — коэффициент простоя обслуживаемого канала .
Первый из названных критериев характеризует потери времени из-за ожидания начала обслуживания ; второй по-казывает полноту загрузки обслуживающей системы .
Очевидно, что очередь может возникнуть, лишь когда число каналов обслуживания меньше наибольшего числа требований, нахо-дящихся одновременно в обслуживающей системе (n < m).
Приведем последовательность расчетов характеристик замкнутых СМО и необходимые формулы.
ПАРАМЕТРЫ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.
1. Определим параметр α = λ / μ — показатель загрузки системы , то есть математическое ожидание числа требований, поступающих в систему за время, равное средней длитель-ности обслуживания (1/μ = ?o6.).
2. Вероятность
P k
того, что занято k обслуживающих каналов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих каналов системы (то есть при
m
≤
n
)
:
3. Вероятность P k того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих каналов (то есть при k > n , при этом k ≤ m ):
4. Вероятность P 0 того, что все обслуживающие каналы сво-бодны, определим, используя очевидное условие:
Тогда величина P 0 будет равна:
5. Среднее число M оч. требований, ожидающих начала обслу-живания (средняя длина очереди):
Или с учетом формулы (15)
6. Коэффициент простоя обслуживаемого требования (объекта):
7. Среднее число M требований, находящихся в обслуживаю-щей системе, обслуживаемых и ожидающих обслуживания:
где для вычислений первой и второй суммы применяются формулы (14) и (15) соответственно.
8. Среднее число свободных обслуживающих каналов
где P k вычисляется по формуле (14).
9. Коэффициент простоя обслуживающего канала
Рассмотрим пример расчета характеристик замкнутой СМО.
Рабочий обслуживает группу автоматов, состоя-щую из 3 станков. Поток поступающих требований на обслу-живание станков является пуассоновским с параметром λ = 2 ст./ч.
Обслуживание одного станка занимает у рабочего в среднем 12 минут, а время обслуживания подчинено экспоненци-альному закону.
Тогда 1/μ = 0,2 ч./ст., т.е. μ = 5 ст./ч., Параметр α = λ/μ = 0,4.
Необходимо определить среднее число автоматов, ожи-дающих обслуживания, коэффициент простоя автомата, ко-эффициент простоя рабочего.
Обслуживающим каналом здесь является рабочий; так как станки обслуживает один рабочий, то n = 1 . Общее число требований не может пре-взойти числа станков, т.е. m = 3 .
Система может находиться в четырех различных состоя-ниях: 1) все станки работают; 2) один стоит и обслуживается рабочим, а два работают; 3) два стоят, один обслуживается, один ждет обслуживания; 4) три стоят, из них один обслу-живается, а два ждут очереди.
Для ответа на поставленные вопросы можно воспользо-ваться формулами (14) и (15).
P1 = P0 6 0,4/2 = 1,2 P0;
P2 = P0 6 0,4 0,4 = 0,96 P0;
P3 = P0 6 0,4 0,4 0,4= 0,384 P0;
Сведем вычисления в таблицу (рис. 1).
|
∑P k /P 0 = 3,5440 |
∑ (k-n)P k = 0,4875 |
∑k P k = 1,2053 |
Рис. 1. Вычисление характеристик замкнутой СМО.
В этой таблице первым вычисляется третий столбец, т.е. отношения P k /P 0 при k = 0,1,2,3.
Затем, суммируя величины по третьему столбцу и учитывая, что ∑ P k = 1, получаем 1/P 0 = 3,544. Откуда Р 0 ≈ 0,2822.
Умножая значения, стоящие в третьем столбце, на Р 0 , получаем в соответствующих строках значения четвертого столбца.
Величина Р 0 = 0,2822, рав-ная вероятности того, что все автоматы работают, может быть истолкована как вероятность того, что рабочий свобо-ден. Получается, что в рассматриваемом случае рабочий будет свободен более 1/4 всего рабочего времени. Однако это не оз-начает, что «очередь» станков, ожидающих обслуживания, всегда будет отсутствовать. Математическое ожидание числа автоматов, стоящих в очереди, равно
Суммируя значения, стоящие в пятом столбце таблицы, получим среднюю длину очереди M оч. = 0,4875. Следова-тельно, в среднем из трех станков 0,49 станка будет про-стаивать в ожидании, пока освободится рабочий.
Суммируя значения, стоящие в шестом столбце таблицы, получим математическое ожи-дание числа простаивающих станков (ремонтируемых и ожидающих ремонта): М = 1,2053. То есть в среднем 1,2 станка не будет выдавать продукцию.
Ко-эффициент простоя станка равен К пр.об. = M оч. /3 = 0,1625. То есть каждый станок простаивает примерно 0,16 часть рабо-чего времени в ожидании, пока рабочий освободится.
Коэффициент простоя рабочего в данном случае совпадает с P 0 , так как n = 1 (все обслуживающие каналы свободны), поэтому
К пр.кан. = N 0 /n = 0,2822.
Абчук В.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций. - СПб.: Союз, 1999. - 320.
Елтаренко Е.А. Исследование операций (системы массового обслуживания, теория игр, модели управления запасами). Учебное пособие. - М.: МИФИ, 2007. - С. 157.
Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой дея-тельности: Учебник. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финан-сы и статистика, 2005. — 616 с: ил.
Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ- ДАНА, 2001. - 367 с.
Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 1999. - 391 с.
операции или эффективности системы массового обслуживания являются следующие.Для СМО с отказами :
Для СМО с неограниченным ожиданием как абсолютная, так и относительная пропускная способности теряют смысл, так как каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Для такой СМО важными показателями являются:
Для СМО смешанного типа используются обе группы показателей: как относительная и абсолютная пропускная способности , так и характеристики ожидания.
В зависимости от цели операции массового обслуживания любой из приведенных показателей (или совокупность показателей) может быть выбран в качестве критерия эффективности.
Аналитической моделью СМО является совокупность уравнений или формул, позволяющих определять вероятности состояний системы в процессе ее функционирования и рассчитывать показатели эффективности по известным характеристикам входящего потока и каналов обслуживания.
Всеобщей аналитической модели для произвольной СМО не существует . Аналитические модели разработаны для ограниченного числа частных случаев СМО. Аналитические модели, более или менее точно отображающие реальные системы, как правило, сложны и труднообозримы.
Аналитическое моделирование СМО существенно облегчается, если процессы, протекающие в СМО, марковские (потоки заявок простейшие, времена обслуживания распределены экспоненциально). В этом случае все процессы в СМО можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а в предельном случае, для стационарных состояний - линейными алгебраическими уравнениями и, решив их, определить выбранные показатели эффективности.
Рассмотрим примеры некоторых СМО.
2.5.1. Многоканальная СМО с отказами
Пример 2.5 . Три автоинспектора проверяют путевые листы у водителей грузовых автомобилей. Если хотя бы один инспектор свободен, проезжающий грузовик останавливают. Если все инспекторы заняты, грузовик, не задерживаясь, проезжает мимо. Поток грузовиков простейший, время проверки случайное с экспоненциальным распределением.
Такую ситуацию можно моделировать трехканальной СМО с отказами (без очереди). Система разомкнутая, с однородными заявками, однофазная, с абсолютно надежными каналами.
Описание состояний:
Все инспекторы свободны;
Занят один инспектор;
Заняты два инспектора;
Заняты три инспектора.
Граф состояний системы приведен на рис. 2.11 .
Рис. 2.11.
На графе: - интенсивность потока грузовых автомобилей; - интенсивность проверок документов одним автоинспектором.
Моделирование проводится с целью определения части автомобилей, которые не будут проверены.
Решение
Искомая часть вероятности - вероятности занятости всех трех инспекторов. Поскольку граф состояний представляет типовую схему "гибели и размножения", то найдем , используя зависимости (2.2).
Пропускную способность этого поста автоинспекторов можно характеризовать относительной пропускной способностью :
Пример 2.6 . Для приема и обработки донесений от разведгруппы в разведотделе объединения назначена группа в составе трех офицеров. Ожидаемая интенсивность потока донесений - 15 донесений в час. Среднее время обработки одного донесения одним офицером - . Каждый офицер может принимать донесения от любой разведгруппы. Освободившийся офицер обрабатывает последнее из поступивших донесений. Поступающие донесения должны обрабатываться с вероятностью не менее 95 %.
Определить, достаточно ли назначенной группы из трех офицеров для выполнения поставленной задачи.
Решение
Группа офицеров работает как СМО с отказами, состоящая из трех каналов.
Поток донесений с интенсивностью 
можно считать простейшим, так как он суммарный от нескольких разведгрупп. Интенсивность обслуживания 
. Закон распределения неизвестен, но это несущественно, так как показано, что для систем с отказами он может быть произвольным.
Описание состояний и граф состояний СМО будут аналогичны приведенным в примере 2.5.
Поскольку граф состояний - это схема "гибели и размножения", то для нее имеются готовые выражения для предельных вероятностей состояния:
Отношение называют приведенной интенсивностью потока заявок . Физический смысл ее следующий: величина представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки.
В примере 
.
В рассматриваемой СМО отказ наступает при занятости всех трех каналов, то есть . Тогда:
Так как вероятность отказа в обработке донесений составляет более 34 % (), то необходимо увеличить личный состав группы. Увеличим состав группы в два раза, то есть СМО будет иметь теперь шесть каналов, и рассчитаем :
Таким образом, только группа из шести офицеров сможет обрабатывать поступающие донесения с вероятностью 95 %.
2.5.2. Многоканальная СМО с ожиданием
Пример 2.7 . На участке форсирования реки имеются 15 однотипных переправочных средств. Поток поступления техники на переправу в среднем составляет 1 ед./мин, среднее время переправы одной единицы техники - 10 мин (с учетом возвращения назад переправочного средства).
Оценить основные характеристики переправы, в том числе вероятность в немедленной переправе сразу по прибытии единицы техники.
Решение
Абсолютная пропускная способность , т. е. все, что подходит к переправе, тут же практически переправляется.
Среднее число работающих переправочных средств:
Коэффициенты использования и простоя переправы:
Для решения примера была также разработана программа. Интервалы времени поступления техники на переправу, время переправы приняты распределенными по экспоненциальному закону.
Коэффициенты использования переправы после 50 прогонов практически совпадают: 
.
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
1.1 Общие понятие теории массового обслуживания
1.2 Моделирование систем массового обслуживания
1.3 Графы состояний СМО
1.4 Случайные процессы
Глава II. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
2.1 Уравнения Колмогорова
2.2 Процессы «рождения – гибели»
2.3 Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания
Глава III. МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
3.1 Одноканальная СМО с отказами в обслуживании
3.2 Многоканальная СМО с отказами в обслуживании
3.3 Модель многофазной системы обслуживания туристов
3.4 Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди
3.5 Одноканальная СМО с неограниченной очередью
3.6 Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди
3.7 Многоканальная СМО с неограниченной очередью
3.8 Анализ системы массового обслуживания супермаркета
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Введение
В настоящее время появилось большое количество литературы, посвященной непосредственно теории массового обслуживания, развитию ее математических аспектов, а также различных сфер ее приложения - военной, медицинской, транспортной, торговле, авиации и др.
Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского ученого А.К. Эрланга(1878-1929),с его трудами в области проектирования и эксплуатации телефонных станций.
Теория массового обслуживания - область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцель и др.
Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого, варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.
В коммерческой деятельности применение теории массового обслуживания пока не нашло желаемого распространения.
В основном это связано с трудностью постановки задач, необходимостью глубокого понимания содержания коммерческой деятельности, а также надежного и точного инструментария, позволяющего просчитывать в коммерческой деятельности различные варианты последствий управленческих решений.
Глава I . Постановка задач массового обслуживание
1.1 Общие понятие теории массового обслуживания
Природа массового обслуживания, в различных сферах, весьма тонка и сложна. Коммерческая деятельность связана с выполнением множества операций на этапах движения, например товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями являются погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка, фасовка, реализация. Кроме таких основных операций процесс движения товаров сопровождается большим количеством предварительных, подготовительных, сопутствующих, параллельных и последующих операций с платежными документами, тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п.
Для перечисленных фрагментов коммерческой деятельности характерны массовость поступления товаров, денег, посетителей в случайные моменты времени, затем их последовательное обслуживание (удовлетворение требований, запросов, заявок) путем выполнения соответствующих операций, время выполнения которых носит также случайный характер. Все это создает неравномерность в работе, порождает недогрузки, простой и перегрузки в коммерческих операциях. Много неприятностей доставляют очереди, например, посетителей в кафе, столовых, ресторанах, или водителей автомобилей на товарных базах, ожидающих разгрузки, погрузки или оформления документов. В связи с этим возникают задачи анализа существующих вариантов выполнения всей совокупности операций, например, торгового зала супермаркета, ресторана или в цехах производства собственной продукции для целей оценки их работы, выявления слабых звеньев и резервов для разработки в конечном итоге рекомендаций, направленных на увеличение эффективности коммерческой деятельности.
Кроме того, возникают другие задачи, связанные с созданием, организацией и планированием нового экономичного, рационального варианта выполнения множества операций в пределах торгового зала, кондитерского цеха, всех звеньев обслуживания ресторана, кафе, столовой, планового отдела, бухгалтерии, отдела кадров и др.
Задачи организации массового обслуживания возникают практически во всех сферах человеческой деятельности, например обслуживание продавцами покупателей в магазинах, обслуживание посетителей на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслуживания, обеспечение телефонных разговоров на телефонной станции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникает необходимость в удовлетворении запросов большого числа потребителей.
Перечисленные задачи можно успешно решать с помощью методов и моделей специально созданной для этих целей теории массового обслуживания (ТМО). В этой теории поясняется, что обслуживать необходимо кого-либо или что-либо, что определяется понятием «заявка (требование) на обслуживание», а операции обслуживания выполняются кем-либо или чем-либо, называемыми каналами (узлами) обслуживания. Роль заявок в коммерческой деятельности выполняют товары, посетители, деньги, ревизоры, документы, а роль каналов обслуживания - продавцы, администраторы, повара, кондитеры, официанты, кассиры, товароведы, грузчики, торговое оборудование и др. Важно заметить, что в одном варианте, например, повар в процессе приготовления блюд является каналом обслуживания, а в другом - выступает в роли заявки на обслуживание, например к заведующему производством за получением товара.
Заявки в силу массовости поступления на обслуживание образуют потоки, которые до выполнения операций обслуживания называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки обслуживания в каналах, а затем формируется выходящий поток заявок. В целом совокупность элементов входящего потока заявок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока заявок образует простейшую одноканальную систему массового обслуживания - СМО.
Под системой понимается совокупность взаимосвязанных и. целенаправленно взаимодействующих частей (элементов). Примерами таких простейших СМО в коммерческой деятельности являются места приема и обработки товаров, узлы расчета с покупателями в магазинах, кафе, столовых, рабочие места экономист та, бухгалтера, коммерсанта, повара на раздаче и т.д.
Процедура обслуживания считается завершенной, когда заявка на обслуживание покидает систему. Продолжительность интервала времени, требуемого для реализации процедуры обслуживания, зависит в основном от характера запроса заявки на обслуживание, состояния самой обслуживающей системы и канала обслуживания.
Действительно, продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с одной стороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортимента товаров, который он собирается приобрести, а с другой - от формы организации обслуживания и обслуживающего персонала, что может значительно повлиять на время пребывания покупателя в супермаркете и интенсивность обслуживания. Например, овладение кассирами-контролерами работы «слепым» методом на кассовом аппарате позволило увеличить пропускную способность узлов расчета в 1,3 раза и сэкономить время, затрачиваемое на расчеты с покупателями по каждой кассе более чем на 1,5 ч в день. Внедрение единого узла расчета в супермаркете дает ощутимые преимущества покупателю. Так, если при традиционной форме расчетов время обслуживания одного покупателя составляло в среднем 1,5 мин, то при введении единого узла расчета - 67 с. Из них 44 с уходят на оформление покупки в секции и 23 с непосредственно на расчеты за покупки. Если покупатель делает несколько покупок в разных секциях, то потери времени сокращаются при приобретении двух покупок в 1,4 раза, трех - в 1,9, пяти - в 2,9 раза.
Под обслуживанием заявок будем понимать процесс удовлетворения потребности. Обслуживание имеет различный характер по своей природе. Однако, во всех примерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого-либо устройства. В некоторых случаях обслуживание производится одним человеком (обслуживание покупателя одним продавцом, в некоторых - группой людей (обслуживание больного врачебной комиссией в поликлинике), а в некоторых случаях - техническими устройствами (продажа газированной воды, бутербродов автоматами). Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание заявок, называется каналом обслуживания.
Если каналы обслуживания способны удовлетворить одинаковые заявки, то каналы обслуживания называются однородными. Совокупность однородных каналов обслуживания называется обслуживающей системой.
В систему массового обслуживания поступает большое количество заявок в случайные моменты времени, длительность обслуживания которых также является случайной величиной. Последовательное поступление заявок в систему обслуживания называется входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания,- выходящим потоком.