Регрессионный анализ — это статистический метод исследования, позволяющий показать зависимость того или иного параметра от одной либо нескольких независимых переменных. В докомпьютерную эру его применение было достаточно затруднительно, особенно если речь шла о больших объемах данных. Сегодня, узнав как построить регрессию в Excel, можно решать сложные статистические задачи буквально за пару минут. Ниже представлены конкретные примеры из области экономики.
Виды регрессии
Само это понятие было введено в математику в 1886 году. Регрессия бывает:
- линейной;
- параболической;
- степенной;
- экспоненциальной;
- гиперболической;
- показательной;
- логарифмической.
Пример 1
Рассмотрим задачу определения зависимости количества уволившихся членов коллектива от средней зарплаты на 6 промышленных предприятиях.
Задача. На шести предприятиях проанализировали среднемесячную заработную плату и количество сотрудников, которые уволились по собственному желанию. В табличной форме имеем:
Количество уволившихся | Зарплата |
||
30000 рублей |
|||
35000 рублей |
|||
40000 рублей |
|||
45000 рублей |
|||
50000 рублей |
|||
55000 рублей |
|||
60000 рублей |
Для задачи определения зависимости количества уволившихся работников от средней зарплаты на 6 предприятиях модель регрессии имеет вид уравнения Y = а 0 + а 1 x 1 +…+а k x k , где х i — влияющие переменные, a i — коэффициенты регрессии, a k — число факторов.
Для данной задачи Y — это показатель уволившихся сотрудников, а влияющий фактор — зарплата, которую обозначаем X.
Использование возможностей табличного процессора «Эксель»
Анализу регрессии в Excel должно предшествовать применение к имеющимся табличным данным встроенных функций. Однако для этих целей лучше воспользоваться очень полезной надстройкой «Пакет анализа». Для его активации нужно:
- с вкладки «Файл» перейти в раздел «Параметры»;
- в открывшемся окне выбрать строку «Надстройки»;
- щелкнуть по кнопке «Перейти», расположенной внизу, справа от строки «Управление»;
- поставить галочку рядом с названием «Пакет анализа» и подтвердить свои действия, нажав «Ок».
Если все сделано правильно, в правой части вкладки «Данные», расположенном над рабочим листом «Эксель», появится нужная кнопка.
в Excel
Теперь, когда под рукой есть все необходимые виртуальные инструменты для осуществления эконометрических расчетов, можем приступить к решению нашей задачи. Для этого:
- щелкаем по кнопке «Анализ данных»;
- в открывшемся окне нажимаем на кнопку «Регрессия»;
- в появившуюся вкладку вводим диапазон значений для Y (количество уволившихся работников) и для X (их зарплаты);
- подтверждаем свои действия нажатием кнопки «Ok».
В результате программа автоматически заполнит новый лист табличного процессора данными анализа регрессии. Обратите внимание! В Excel есть возможность самостоятельно задать место, которое вы предпочитаете для этой цели. Например, это может быть тот же лист, где находятся значения Y и X, или даже новая книга, специально предназначенная для хранения подобных данных.
Анализ результатов регрессии для R-квадрата
В Excel данные полученные в ходе обработки данных рассматриваемого примера имеют вид:
Прежде всего, следует обратить внимание на значение R-квадрата. Он представляет собой коэффициент детерминации. В данном примере R-квадрат = 0,755 (75,5%), т. е. расчетные параметры модели объясняют зависимость между рассматриваемыми параметрами на 75,5 %. Чем выше значение коэффициента детерминации, тем выбранная модель считается более применимой для конкретной задачи. Считается, что она корректно описывает реальную ситуацию при значении R-квадрата выше 0,8. Если R-квадрата<0,5, то такой анализа регрессии в Excel нельзя считать резонным.
Анализ коэффициентов
Число 64,1428 показывает, каким будет значение Y, если все переменные xi в рассматриваемой нами модели обнулятся. Иными словами можно утверждать, что на значение анализируемого параметра оказывают влияние и другие факторы, не описанные в конкретной модели.
Следующий коэффициент -0,16285, расположенный в ячейке B18, показывает весомость влияния переменной Х на Y. Это значит, что среднемесячная зарплата сотрудников в пределах рассматриваемой модели влияет на число уволившихся с весом -0,16285, т. е. степень ее влияния совсем небольшая. Знак «-» указывает на то, что коэффициент имеет отрицательное значение. Это очевидно, так как всем известно, что чем больше зарплата на предприятии, тем меньше людей выражают желание расторгнуть трудовой договор или увольняется.
Множественная регрессия
Под таким термином понимается уравнение связи с несколькими независимыми переменными вида:
y=f(x 1 +x 2 +…x m) + ε, где y — это результативный признак (зависимая переменная), а x 1 , x 2 , …x m — это признаки-факторы (независимые переменные).
Оценка параметров
Для множественной регрессии (МР) ее осуществляют, используя метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений вида Y = a + b 1 x 1 +…+b m x m + ε строим систему нормальных уравнений (см. ниже)
Чтобы понять принцип метода, рассмотрим двухфакторный случай. Тогда имеем ситуацию, описываемую формулой
Отсюда получаем:
где σ — это дисперсия соответствующего признака, отраженного в индексе.
МНК применим к уравнению МР в стандартизируемом масштабе. В таком случае получаем уравнение:
в котором t y , t x 1, … t xm — стандартизируемые переменные, для которых средние значения равны 0; β i — стандартизированные коэффициенты регрессии, а среднеквадратическое отклонение — 1.
Обратите внимание, что все β i в данном случае заданы, как нормируемые и централизируемые, поэтому их сравнение между собой считается корректным и допустимым. Кроме того, принято осуществлять отсев факторов, отбрасывая те из них, у которых наименьшие значения βi.
Задача с использованием уравнения линейной регрессии
Предположим, имеется таблица динамики цены конкретного товара N в течение последних 8 месяцев. Необходимо принять решение о целесообразности приобретения его партии по цене 1850 руб./т.
номер месяца | название месяца | цена товара N |
|
1750 рублей за тонну |
|||
1755 рублей за тонну |
|||
1767 рублей за тонну |
|||
1760 рублей за тонну |
|||
1770 рублей за тонну |
|||
1790 рублей за тонну |
|||
1810 рублей за тонну |
|||
1840 рублей за тонну |
|||
Для решения этой задачи в табличном процессоре «Эксель» требуется задействовать уже известный по представленному выше примеру инструмент «Анализ данных». Далее выбирают раздел «Регрессия» и задают параметры. Нужно помнить, что в поле «Входной интервал Y» должен вводиться диапазон значений для зависимой переменной (в данном случае цены на товар в конкретные месяцы года), а в «Входной интервал X» — для независимой (номер месяца). Подтверждаем действия нажатием «Ok». На новом листе (если так было указано) получаем данные для регрессии.
Строим по ним линейное уравнение вида y=ax+b, где в качестве параметров a и b выступают коэффициенты строки с наименованием номера месяца и коэффициенты и строки «Y-пересечение» из листа с результатами регрессионного анализа. Таким образом, линейное уравнение регрессии (УР) для задачи 3 записывается в виде:
Цена на товар N = 11,714* номер месяца + 1727,54.
или в алгебраических обозначениях
y = 11,714 x + 1727,54
Анализ результатов
Чтобы решить, адекватно ли полученное уравнения линейной регрессии, используются коэффициенты множественной корреляции (КМК) и детерминации, а также критерий Фишера и критерий Стьюдента. В таблице «Эксель» с результатами регрессии они выступают под названиями множественный R, R-квадрат, F-статистика и t-статистика соответственно.
КМК R дает возможность оценить тесноту вероятностной связи между независимой и зависимой переменными. Ее высокое значение свидетельствует о достаточно сильной связи между переменными «Номер месяца» и «Цена товара N в рублях за 1 тонну». Однако, характер этой связи остается неизвестным.
Квадрат коэффициента детерминации R 2 (RI) представляет собой числовую характеристику доли общего разброса и показывает, разброс какой части экспериментальных данных, т.е. значений зависимой переменной соответствует уравнению линейной регрессии. В рассматриваемой задаче эта величина равна 84,8%, т. е. статистические данные с высокой степенью точности описываются полученным УР.
F-статистика, называемая также критерием Фишера, используется для оценки значимости линейной зависимости, опровергая или подтверждая гипотезу о ее существовании.
(критерий Стьюдента) помогает оценивать значимость коэффициента при неизвестной либо свободного члена линейной зависимости. Если значение t-критерия > t кр, то гипотеза о незначимости свободного члена линейного уравнения отвергается.
В рассматриваемой задаче для свободного члена посредством инструментов «Эксель» было получено, что t=169,20903, а p=2,89Е-12, т. е. имеем нулевую вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости свободного члена. Для коэффициента при неизвестной t=5,79405, а p=0,001158. Иными словами вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости коэффициента при неизвестной, равна 0,12%.
Таким образом, можно утверждать, что полученное уравнение линейной регрессии адекватно.
Задача о целесообразности покупки пакета акций
Множественная регрессия в Excel выполняется с использованием все того же инструмента «Анализ данных». Рассмотрим конкретную прикладную задачу.
Руководство компания «NNN» должно принять решение о целесообразности покупки 20 % пакета акций АО «MMM». Стоимость пакета (СП) составляет 70 млн американских долларов. Специалистами «NNN» собраны данные об аналогичных сделках. Было принято решение оценивать стоимость пакета акций по таким параметрам, выраженным в миллионах американских долларов, как:
- кредиторская задолженность (VK);
- объем годового оборота (VO);
- дебиторская задолженность (VD);
- стоимость основных фондов (СОФ).
Кроме того, используется параметр задолженность предприятия по зарплате (V3 П) в тысячах американских долларов.
Решение средствами табличного процессора Excel
Прежде всего, необходимо составить таблицу исходных данных. Она имеет следующий вид:
- вызывают окно «Анализ данных»;
- выбирают раздел «Регрессия»;
- в окошко «Входной интервал Y» вводят диапазон значений зависимых переменных из столбца G;
- щелкают по иконке с красной стрелкой справа от окна «Входной интервал X» и выделяют на листе диапазон всех значений из столбцов B,C, D, F.
Отмечают пункт «Новый рабочий лист» и нажимают «Ok».
Получают анализ регрессии для данной задачи.
Изучение результатов и выводы
«Собираем» из округленных данных, представленных выше на листе табличного процессора Excel, уравнение регрессии:
СП = 0,103*СОФ + 0,541*VO - 0,031*VK +0,405*VD +0,691*VZP - 265,844.
В более привычном математическом виде его можно записать, как:
y = 0,103*x1 + 0,541*x2 - 0,031*x3 +0,405*x4 +0,691*x5 - 265,844
Данные для АО «MMM» представлены в таблице:
Подставив их в уравнение регрессии, получают цифру в 64,72 млн американских долларов. Это значит, что акции АО «MMM» не стоит приобретать, так как их стоимость в 70 млн американских долларов достаточно завышена.
Как видим, использование табличного процессора «Эксель» и уравнения регрессии позволило принять обоснованное решение относительно целесообразности вполне конкретной сделки.
Теперь вы знаете, что такое регрессия. Примеры в Excel, рассмотренные выше, помогут вам в решение практических задач из области эконометрики.
Оценка значимости параметров уравнения регрессии
Оценка значимости параметров уравнения линейной регрессии производится с помощью критерия Стьюдента:
если t расч. > t кр, то принимается основная гипотеза (H o ), свидетельствующая о статистической значимости параметров регрессии;
если t расч. < t кр, то принимается альтернативная гипотеза (H 1 ), свидетельствующая о статистической незначимости параметров регрессии.
где m a , m b – стандартные ошибки параметров a и b:
(2.19)
(2.20)
Критическое (табличное) значение критерия находится с помощью статистических таблиц распределения Стьюдента (приложение Б) или по таблицам Excel (раздел мастера функций «Статистические»):
t кр = СТЬЮДРАСПОБР(α=1-P; k=n-2 ), (2.21)
где k=n-2 также представляет собой число степенейсвободы.
Оценка статистической значимости может быть применена и к линейному коэффициенту корреляции
где m r – стандартная ошибка определения значений коэффициента корреляции r yx
(2.23)
Ниже представлены варианты заданий для практических и лабораторных работ по тематике второго раздела.
Вопросы для самопроверки по 2 разделу
1. Укажите основные составляющие эконометрической модели и их сущность.
2. Основное содержание этапов эконометрического исследования.
3. Сущность подходов по определению параметров линейной регрессии.
4. Сущность и особенность применения метода наименьших квадратов при определении параметров уравнения регрессии.
5. Какие показатели используются для оценки тесноты взаимосвязи исследуемых факторов?
6. Сущность линейного коэффициента корреляции.
7. Сущность коэффициента детерминации.
8. Сущность и основные особенности процедур оценки адекватности (статистической значимости) регрессионных моделей.
9. Оценка адекватности линейных регрессионных моделей по коэффициенту аппроксимации.
10. Сущность подхода оценки адекватности регрессионных моделей по критерию Фишера. Определение эмпирических и критических значений критерия.
11. Сущность понятия «дисперсионный анализ» применительно к эконометрическим исследованиям.
12. Сущность и основные особенности процедуры оценки значимости параметров линейного уравнения регрессии.
13. Особенности применения распределения Стьюдента при оценке значимости параметров линейного уравнения регрессии.
14. В чем состоит задача прогноза единичных значений исследуемого социально-экономического явления?
1. Построить поле корреляции и сформулировать предположение о форме уравнения взаимосвязи исследуемых факторов;
2. Записать основные уравнения метода наименьших квадратов, произвести необходимые преобразования, составить таблицу для промежуточных расчетов и определить параметры линейного уравнения регрессии;
3. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.
4. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.
1. Расчет значения линейного коэффициента корреляции;
2. Построение таблицы дисперсионного анализа;
3. Оценка коэффициента детерминации;
4. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.
5. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.
4. Провести общую оценку адекватности выбранного уравнения регрессии;
1. Оценка адекватности уравнения по значениям коэффициента аппроксимации;
2. Оценка адекватности уравнения по значениям коэффициента детерминации;
3. Оценка адекватности уравнения по критерию Фишера;
4. Провести общую оценку адекватности параметров уравнения регрессии;
5. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.
6. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.
1. Использование стандартных процедур мастера функций электронных таблиц Excel (из разделов «Математические» и «Статистические»);
2. Подготовка данных и особенности применения функции «ЛИНЕЙН»;
3. Подготовка данных и особенности применения функции «ПРЕДСКАЗ».
1. Использование стандартных процедур пакета анализа данных электронных таблиц Excel;
2. Подготовка данных и особенности применения процедуры «РЕГРЕССИЯ»;
3. Интерпретация и обобщение данных таблицы регрессионного анализа;
4. Интерпретация и обобщение данных таблицы дисперсионного анализа;
5. Интерпретация и обобщение данных таблицы оценки значимости параметров уравнения регрессии;
При выполнении лабораторной работы по данным одного из вариантов необходимо выполнить следующие частные задания:
1. Осуществить выбор формы уравнения взаимосвязи исследуемых факторов;
2. Определить параметры уравнения регрессии;
3. Провести оценку тесноты взаимосвязи исследуемых факторов;
4. Провести оценку адекватности выбранного уравнения регрессии;
5. Провести оценку статистической значимости параметров уравнения регрессии.
6. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.
7. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.
Задания для практических и лабораторных работ по теме «Парная линейная регрессия и корреляция в эконометрических исследованиях».
| Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Вариант 4 | Вариант 5 | |||||
| x | y | x | y | x | y | x | y | x | y |
| Вариант 6 | Вариант 7 | Вариант 8 | Вариант 9 | Вариант 10 | |||||
| x | y | x | y | x | y | x | y | x | y |
Оценка статистической значимости параметров и уравнения в целом – это обязательная процедура, которая позволяет сделать ввод о возможности использования построенного уравнения связи для принятия управленческих решений и прогнозирования.
Оценка статистической значимости уравнения регрессии осуществляется с использованием F-критерия Фишера, который представляет собой отношение факторной и остаточных дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы.
Факторная дисперсия – объясненная часть вариации признака-результата, то есть обусловленная вариацией тех факторов, которые включены в анализ (в уравнение):
где k – число факторов в уравнении регрессии (число степеней свободы факторной дисперсии); - среднее значение зависимой переменной; - теоретическое (рассчитанное по уравнению регрессии) значение зависимой переменной у i – й единицы совокупности.
Остаточная дисперсия – необъясненная часть вариации признака-результата, то есть обусловленная вариацией прочих факторов, не включенных в анализ.
= 
, (71)
где - фактическое значение зависимой переменной у i – й единицы совокупности; n-k-1 – число степеней свободы остаточной дисперсии; n – объем совокупности.
Сумма факторной и остаточной дисперсий, как отмечалось выше, есть общая дисперсия признака-результата.
F-критерия Фишера рассчитывается по следующей формуле:
F-критерий Фишера – величина, отражающая соотношение объясненной и необъясненной дисперсий, позволяет ответить на вопрос: объясняют ли включенные в анализ факторы статистическую значимую часть вариации признака-результата. F-критерий Фишера табулирован (входом в таблицу является число степеней свободы факторной и остаточной дисперсий). Если 
, то уравнение регрессии признается статистически значимым и, соответственно, статистически значим коэффициент детерминации. В противном случае, уравнение – статистически не значимо, т.е. не объясняет существенной части вариации признака-результата.
Оценка статистической значимости параметров уравнения осуществляется на основе t-статистики, которая рассчитывается как отношение модуля параметров уравнения регрессии к их стандартным ошибкам (
):
, где 
; (73)
, где 
. (74)
В любой статистической программе расчет параметров всегда сопровождается расчетом значений их стандартных (среднеквадратических) ошибок и t-статистики. Параметр признаются статистически значимым, если фактическое значение t-статистики больше табличного.
Оценка параметров на основе t-статистики, по существу, является проверкой нулевой гипотезы о равенстве генеральных параметров нулю (H 0: =0; H 0: =0;), то есть о не значимости параметров уравнения регрессии. Уровень значимости принятия нулевых гипотез = 1-0,95=0,05 (0,95 – уровень вероятности, как правило, устанавливаемый в экономических расчетах). Если расчетный уровень значимости меньше 0,05 , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная - о статистической значимости параметра.
Проводя оценку статистической значимости уравнения регрессии и его параметров, мы можем получить различное сочетание результатов.
· Уравнение по F-критерию статистически значимо и все параметры уравнения по t-статистике тоже статистически значимы. Данное уравнение может быть использовано как для принятия управленческих решений (на какие факторы следует воздействовать, чтобы получить желаемый результат), так и для прогнозирования поведения признака-результата при тех или иных значениях факторов.
· По F-критерию уравнение статистически значимо, но незначимы отдельные параметры уравнения. Уравнение может быть использовано для принятия управленческих решений (касающихся тех факторов, по которым получено подтверждение статистической значимости их влияния), но уравнение не может быть использовано для прогнозирования.
· Уравнение по F-критерию статистически незначимо. Уравнение не может быть использовано. Следует продолжить поиск значимых признаков-факторов или аналитической формы связи аргументов и отклика.
Если подтверждена статистическая значимость уравнения и его параметров, то может быть реализован, так называемый, точечный прогноз, т.е. рассчитывается вероятное значение признака-результата (y) при тех или иных значениях факторов (x). Совершенно очевидно, что прогнозное значение зависимой переменной не будет совпадать с фактическим ее значением. Это связано, прежде всего, с самой сутью корреляционной зависимости. Одновременно на результат воздействует множество факторов, из которых только часть может быть учтена в уравнении связи. Кроме того, может быть неверно выбрана форма связи результата и факторов (тип уравнения регрессии). Между фактическими значениями признака-результата и его теоретическими (прогнозными) значениями всегда существует различие (
). Графически эта ситуация выражается в том, что не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии. Лишь при функциональной связи линия регрессии пройдет через все точки поля корреляции. Разность между фактическими и теоретическими значениями результативного признака называют отклонениями или ошибками, или остатками. На основе этих величин и рассчитывается остаточная дисперсия, являющаяся оценкой среднеквадратической ошибки уравнения регрессии. Величина стандартной ошибки используется для расчета доверительных интервалов прогнозного значения признака-результата (Y).
После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, коэффициент регрессии равен нулю, то есть b=0, и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у. Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения у на две части - «объясненную» и «необъясненную» (приложение 2).
Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака у от среднего значения у вызвана влиянием множества причин. Условно всю совокупность причин можно разделить на две группы:
- · изучаемый фактор х
- · прочие факторы
Если фактор не оказывает влияния на результат, то линия регрессии на графике параллельна оси охи у = y. Тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадает с остаточной. Если же прочие факторы не влияют на результат, то у связан с х функционально и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, совпадает с общей суммой квадратов.
Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс как обусловленный влиянием фактора х, то есть регрессией у по х, так и вызванный действием прочих величин (необъясненная вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объясненную вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное влияние на результат у. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации r 2 xy будет приближаться к единице.
Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы (df - degrees of freedom), то есть с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из n возможных [(y 1 -y), (y 2 -y),…,(y n -y)] требуется для образования данной суммы квадратов. Так, для общей суммы квадратов?(y-y) 2 требуется (n-1) независимых отклонений.
При расчете объясненной или факторной суммы квадратов?(y x -y) 2 используются теоретические (расчетные) значения результативного признака y x , найденные по линии регрессии: y x =а+b*x.
В линейной регрессии сумма квадратов отклонений, обусловленных линейной регрессией, составит: ?(y x -y) 2 =b 2 *?(x -x) 2 .
Поскольку при заданном объеме наблюдений по х и у факторная сумма квадратов при линейной регрессии зависит только от одной константы коэффициента регрессии b, то данная сумма квадратов имеет одну степень свободы. К тому же выводу придем, если рассмотрим содержательную сторону расчетного значения признака у, то есть y x . Величина y x определяется по уравнению линейной регрессии: y x =а+b*x. Параметр а можно определить как: a=y-b*x. Подставив выражение параметра а в линейную модель получим:
y x = y-b*x+b*x= y-b*(х-х).
Отсюда видно, что при заданном наборе переменных у и х расчетное значение y x является в линейной регрессии функцией только одного параметра - коэффициента регрессии. Соответственно и факторная сумма квадратов отклонений имеет число степеней свободы, равное 1.
Существует равенство между числом степеней свободы общей, факторной и остаточной суммами квадратов. Число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной регрессии составляет n-2. Число степеней свободы для общей суммы квадратов определяется числом единиц, и поскольку используется средняя вычисленная по данным выборки, то теряем одну степень свободы, то есть df общ = n-1.
Итак, имеется два равенства:
?(у-у) 2 =?(y x -у) 2 +?(у- y x) 2 ,
Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или, что то же самое, дисперсию на одну степень свободы D.
D общ =?(у-у) 2 /(n-1);
D факт =?(y x -у) 2 /1;
D ост =?(у- y x) 2 /(n-1).
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-отношения (F-критерия):
F= D факт / D ост, где
F - критерий для проверки нулевой гипотезы Н 0: D факт =D ост.
Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для Н 0 необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз.
Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различимом числе степеней свободы.
Табличное значение F-критерия - это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы.
Вычисленное значение F-отношения признается достоверным (отличным от единицы), если оно больше табличного.
В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи: F факт >F табл. Н 0 отклоняется.
Если же величина окажется меньше табличной F факт Оценку качества модели дает коэффициент детерминации. Коэффициент детерминации (R
2) -- это квадрат множественного коэффициента корреляции. Он показывает, какая доля дисперсии результативного признака объясняется влиянием независимых переменных. Формула для вычисления коэффициента детерминации: y
i
-- выборочные данные, а f
i
-- соответствующие им значения модели. Также это квадрат корреляции Пирсона между двумя переменными. Он выражает количество дисперсии, общей между двумя переменными. Коэффициент принимает значения из интервала . Чем ближе значение к 1 тем ближе модель к эмпирическим наблюдениям. В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции, то есть R
2 = r
2 . Иногда показателям тесноты связи можно дать качественную оценку (шкала Чеддока) (приложение 3). Функциональная связь возникает при значении равном 1, а отсутствие связи -- 0. При значениях показателей тесноты связи меньше 0,7 величина коэффициента детерминации всегда будет ниже 50 %. Это означает, что на долю вариации факторных признаков приходится меньшая часть по сравнению с остальными неучтенными в модели факторами, влияющими на изменение результативного показателя. Построенные при таких условиях регрессионные модели имеют низкое практическое значение. Для
оценки существенности, значимости
коэффициента корреляции используется
t-критерий
Стьюдента. Находится средняя
ошибка коэффициента корреляции по
формуле: Н Рассчитанное
значение t-критерия
сравнивают с табличным, найденным в
таблице распределения Стьюдента при
уровне значимости 0,05 или 0,01 и числе
степеней свободы n-1.
Если расчетное значение t-критерия
больше табличного, то коэффициент
корреляции признается значимым. При
криволинейной связи для оценки значимости
корреляционного отношения и уравнения
регрессии применяется F-критерий.
Он вычисляется по формуле: или
где
η – корреляционное отношение; n
– число наблюдений; m
– число параметров в уравнении регрессии. Рассчитанное
значение F
сравнивается с табличным для принятого
уровня значимости α (0,05 или 0,01) и чисел
степеней свободы к 1 =m-1
и k 2 =n-m.
Если расчетное значение F
превышает табличное, связь признается
существенной. Значимость
коэффициента регрессии устанавливается
с помощью t-критерия Стьюдента,
который вычисляется по формуле: где
σ 2 а i
- дисперсия коэффициента регрессии. Она
вычисляется по формуле: где
к – число факторных признаков в уравнении
регрессии. Коэффициент
регрессии признается значимым, если
t a 1 ≥t кр.
t кр
отыскивается в таблице критических
точек распределения Стьюдента при
принятом уровне значимости и числе
степеней свободы k=n-1. Проведём
корреляционно-регрессионный анализ
взаимосвязи урожайности и затрат труда
на 1 ц зерна. Для этого открываем лист
Excel,
в ячейки А1:А30 вводим значения факторного
признака –
урожайности зерновых культур, в ячейки
В1:В30 значения результативного признака
– затраттруда
на 1 ц зерна. В меню Сервис выберем опцию
Анализ данных. Щелкнув левой кнопкой
мыши по этому пункту, откроем инструмент
Регрессия. Щелкаем по кнопке OK,
на экране появляется диалоговое окно
Регрессия. В поле Входной интервал У
вводим значения результативного признака
(выделяя ячейки В1:В30), в поле Входной
интервал Х вводим значения факторного
признака (выделяя ячейки А1:А30). Отмечаем
уровень вероятности 95%, выбираем Новый
рабочий лист. Щелкаем по кнопке OK.
На рабочем листе появляется таблица
«ВЫВОД ИТОГОВ», в которой даны результаты
вычисления параметров уравнения
регрессии, коэффициента корреляции и
другие показатели, позволяющие определить
значимость коэффициента корреляции и
параметров уравнения регрессии. ВЫВОД
ИТОГОВ Регрессионная
статистика
Множественный
R R-квадрат Нормированный
R-квадрат Стандартная
ошибка Наблюдения Дисперсионный
анализ Значимость
F
Регрессия Коэффициенты
Стандартная
ошибка
t-статистика
P-Значение
Нижние
95%
Верхние
95%
Нижние
95,0%
Верхние
95,0%
Y-пересечение Переменная
X 1 В
данной таблице «Множественный R»
- это коэффициент корреляции, «R-квадрат»
- коэффициент детерминации. «Коэффициенты:
Y-пересечение»
- свободный член уравнения регрессии
2,836242; «Переменная Х1» – коэффициент
регрессии -0,06654. Здесь имеются также
значения F-критерия
Фишера 74,9876, t-критерия
Стьюдента 14,18042, «Стандартная ошибка
0,112121», которые необходимы для оценки
значимости коэффициента корреляции,
параметров уравнения регрессии и всего
уравнения. На
основе данных таблицы построим уравнение
регрессии: у х =2,836-0,067х.
Коэффициент регрессии а 1 =-0,067
означает, что с повышением урожайности
зерновых на 1 ц/га затраты труда на 1 ц
зерна уменьшаются на 0,067 чел.-ч. Коэффициент
корреляции r=0,85>0,7,
следовательно, связь между изучаемыми
признаками в данной совокупности тесная.
Коэффициент детерминации r 2 =0,73
показывает, что 73% вариации результативного
признака (затрат труда на 1 ц зерна)
вызвано действием факторного признака
(урожайности зерновых). В
таблице критических точек распределения
Фишера - Снедекора найдём критическое
значение F-критерия
при уровне значимости 0,05 и числе степеней
свободы к 1 =m-1=2-1=1
и k 2 =n-m=30-2=28,
оно равно 4,21. Так как рассчитанное
значение критерия больше табличного
(F=74.9896>4,21),
то уравнение регрессии признаётся
значимым. Для
оценки значимости коэффициента корреляции
рассчитаем t-критерий
Стьюдента: В
а
основе ошибки рассчитываетсяt-критерий:
4.3.Корреляционно-регрессионный анализ в Excel
таблице критических точек распределения
Стьюдента найдём критическое значениеt-критерия
при уровне значимости 0,05 и числе степеней
свободы n-1=30-1=29,
оно равно 2,0452. Так как расчётное значение
больше табличного, то коэффициент
корреляции является значимым.